2．多变量函数的连续性
[多变量函数的极限]
设函数u=f(P)=f(x1,
,xn)定义在区域D内,P0(
)为D内一点.若对任意小的ε>0，都存在δ=δ(ε,P0)>0，使得只要P
D及0<ρ(P,P0)<δ（其中ρ(P,P0)为P和P0两点间的距离），都有
|f(P)-A|<ε
则称数A为函数f(P)在P0点的极限，记作
或
[n重极限与累极限] 上述函数f(x1,
,xn)的极限，是当函数的一切自变量同时趋向于各自的极限时所得出的，称为n重极限（在n=2,
时分别称为二重极限，三重极限,等等）.此外，还有一种极限，它是由各个自变量依某种次序相继地各自趋向于极限所得出的，称为累极限.例如对二元函数f(x,y)来说，二重极限为
，两个累极限为
（先让自变量x趋于a，再让自变量y趋于b）和
（先让自变量y趋于b,再让自变量x趋于a），三者不一定相等.
定理 若（i）二重极限
A=
存在（有穷或无穷），（ii）对于D内的任一y，关于x的（有限的）单重极限
=
存在，则累极限
=
必存在，而且就等于二重极限.
对于第二种累极限
有类似结论.
[多变量函数的连续性]
定义1 如果
=
=
，那末
在点P0连续.
定义2 如果对任意小的ε>0，都存在正数δ>0，使得当0<ρ(P,P0)<δ时，恒有
|f(P)-f(
)|<ε
那末
在点P0连续.
定义3 当自变量的改变量Δxi(i=1,2,…,n)为无穷小量时，函数的改变量
也是无穷小量，或者写为
式中
，那末f(x1,x2,…,xn)在点(
)连续.
若函数
在区域D上每点都连续，则称函数
在区域D上连续.
[多变量函数的一致连续性] 设函数
定义在某一区域D（有限的或无限的）上，若对任意给定的ε>0，都存在一个只与ε有关的δ=δ(ε)>0，使得对区域D上任意两点P1和P
，只要
ρ(
)<δ
就有不等式
|f(
)-f(
)|<ε
成立，则称函数
在区域D上一致连续.
[多变量连续函数的性质]
1° 在有界闭区域D上连续的函数必在D上有界.
2° 在有界闭区域D上连续的函数必在D上达到一个最大值与一个最小值.
3° 在有界闭区域D上每点都连续的函数必在D上一致连续.