2.多变量函数的连续性

[多变量函数的极限]  设函数u=f(P)=f(x1,,xn)定义在区域D,P0()为D内一点.若对任意小的ε>0,都存在δ=δ(ε,P0)>0,使得只要PD0<ρ(P,P0)<δ(其中ρ(P,P0)为PP0两点间的距离),都有

|f(P)-A|<ε

则称数A为函数f(P)在P0点的极限,记作

    [n重极限与累极限]  上述函数f(x1,,xn)的极限,是当函数的一切自变量同时趋向于各自的极限时所得出的,称为n重极限(在n=2,时分别称为二重极限,三重极限,等等).此外,还有一种极限,它是由各个自变量依某种次序相继地各自趋向于极限所得出的,称为累极限.例如对二元函数f(x,y)来说,二重极限为,两个累极限为(先让自变量x趋于a,再让自变量y趋于b)和(先让自变量y趋于b,再让自变量x趋于a),三者不一定相等.

定理  若(i)二重极限

A=

存在(有穷或无穷),(ii)对于D内的任一y,关于x的(有限的)单重极限

=

存在,则累极限

=

必存在,而且就等于二重极限.

    对于第二种累极限有类似结论.

[多变量函数的连续性]

定义1  如果==,那末在点P0连续.

定义2  如果对任意小的ε>0,都存在正数δ>0,使得当0<ρ(P,P0)<δ时,恒有

|f(P)-f()|<ε

那末在点P0连续.

定义3  当自变量的改变量Δxi(i=1,2,,n)为无穷小量时,函数的改变量也是无穷小量,或者写为

式中,那末f(x1,x2,…,xn)在点()连续.

    若函数在区域D上每点都连续,则称函数在区域D上连续.

[多变量函数的一致连续性]  设函数定义在某一区域D(有限的或无限的)上,若对任意给定的ε>0,都存在一个只与ε有关的δ=δ(ε)>0,使得对区域D上任意两点P1P,只要

ρ()<δ

就有不等式

|f()-f()|<ε

成立,则称函数在区域D上一致连续.

[多变量连续函数的性质]

1°  在有界闭区域D上连续的函数必在D上有界.

2°  在有界闭区域D上连续的函数必在D上达到一个最大值与一个最小值.

3°  在有界闭区域D上每点都连续的函数必在D上一致连续.