八、幂级数

1．单变量的幂级数

[定义]  下列形式的级数

                          （1）

（式中a₀,a₁,都是实常数）称为x的幂级数.更一般地，级数

(式中a是一个实常数)也称为幂级数.

[绝对收敛]  如果级数（1）当x=时收敛，那末对于满足|x|<||的任何x的值，级数（1）都绝对收敛.

[收敛半径与收敛区间]  对于任何一个幂级数，都有一个数R(0≤R<+∞),使得当|x|<R时，级数绝对收敛，当|x|>R时，级数发散.这个数R称为给定级数的收敛半径，区间(－R,R)称为它的收敛区间，而在区间的两个端点x=R和x=－R，级数可能收敛也可能发散.

收敛半径R可按柯西-阿达玛公式

或公式                                                     R=

计算(若极限存在).

[阿贝尔定理]  若幂级数S(x)=( |x|<R)在收敛区间的端点x=R处收敛，则

S(R)=

[内闭一致收敛]  若级数（1）的收敛半径等于R，则对任意满足0<<R的，级数（1）在区间[，]上一致收敛.

[连续]  幂级数的和在收敛区间内的每一点处都连续.

[逐项积分]  在级数（1）的收敛区间内的任何一点x，都有

式中S(x)表示级数（1）的和.

[逐项微分]  幂级数（1）的和S(x)在这个级数的收敛区间内的任一点上都可微.逐项微分级数（1）得到的级数

与（1）具有同样的收敛半径，并且这个级数的和就等于.

[高阶导数]  若级数（1）有收敛半径R，则它的和S(x)在区间(,R)内的任何一点都有任意阶导数，并且函数（n=1,）就是逐项微分级数（1）n次所得到的那个级数（它的收敛半径也同样是R）的和

=            （<x<R）