3.双曲线的性质

1° 双曲线是到两定点(焦点)的距离之差为常数(等于实轴2a)的动点M的轨迹(使的各点属于双曲线的一支,而使的各点属于其另一支).

2° 双曲线也是到一定点(焦点之一)的距离与到一定直线(准线L1)的距离之比为大于1的常数(即离心率)的动点M的轨迹().

3° 双曲线上一点M的切线(MT)的方程为

                               

       7.8

它把M点两焦点半径间的内角()平分(),而M点的法线MN把外角()平分(7.7).

如果双曲线的切线的斜率为k,则其切线的方程为

                        

式中正负号表示在直径两端点的两切线.

4° 两条渐近线之间的切线线段TT1被切点M平分(TM = MT1),且

                   DOTT1的面积

平行四边形OJMI的面积(7.8的阴影部分)

                        

5° 双曲线的任一直径把平行于共轭直径的弦平分(7.9)

         7.9

如果两共轭直径的长分别为2a1,2b1, 两直径与实轴夹角(锐角)分别为ab(a<b),则

                        

6° 双曲线上任一点M的焦点半径之积等于它的对应半共轭直径的平方.

 

 

 

7° MM¢, NN¢为双曲线的两共轭直径,通过M, M¢分别作直线平行于NN¢;又通过N, N¢分别作直线平行于MM¢,则这四条直线构成的平行四边形的面积为一常数4ab(7.10).

  7.10