3.双曲线的性质

1° 双曲线是到两定点(焦点)的距离之差为常数(等于实轴2a)的动点M的轨迹(使的各点属于双曲线的一支，而使的各点属于其另一支).

2° 双曲线也是到一定点(焦点之一)的距离与到一定直线(准线L₁)的距离之比为大于1的常数(即离心率)的动点M的轨迹().

3° 双曲线上一点M的切线(MT)的方程为

它把M点两焦点半径间的内角(即)平分(即)，而M点的法线MN把外角(即)平分(图7.7).

如果双曲线的切线的斜率为k，则其切线的方程为

式中正负号表示在直径两端点的两切线.

4° 两条渐近线之间的切线线段TT₁被切点M平分(TM = MT₁)，且

                   DOTT₁的面积，

平行四边形OJMI的面积(图7.8的阴影部分)

5° 双曲线的任一直径把平行于共轭直径的弦平分(图7.9)

如果两共轭直径的长分别为2a₁,2b₁, 两直径与实轴夹角(锐角)分别为a和b(a<b)，则

6° 双曲线上任一点M的焦点半径之积等于它的对应半共轭直径的平方.

 

 

 

7° 设MM¢, NN¢为双曲线的两共轭直径，通过M, M¢分别作直线平行于NN¢；又通过N, N¢分别作直线平行于MM¢，则这四条直线构成的平行四边形的面积为一常数4ab(图7.10).

图  7.10