7.28

九、曲面曲线的测地曲率、测地线与测地坐标

       [测地曲率与贝尔特拉米公式]  M为曲面S上一点,CS上通过点M的一条曲线,SM的切面,C上的正射影,则M的曲率称为CM的测地曲率,记作.

       设曲面S的参数方程为,曲面曲线C的方程为,则C的测地曲率

                   1

式中                        

如果曲线C以弧长s为参数,则

                                              2

式中                       

公式(1)和(2)称为测地曲率的贝尔特拉米公式.

       测地曲率是等距不变量.

       [测地线]  如果一条曲面曲线C上每点的测地曲率都等于零,则称C为曲面上的一条测地线.

       测地线的微分方程是

     
                                  


也可写为

                                  



                  

      对于曲面上的测地线的微分方程为

     

            


式中pqrst  见前表.

测地线具有性质:

1、测地线在每点M的曲率小于与它在M相切的任何曲线在M的曲率.

2、如果把曲面曲线C的可展曲面变成平面时,那末只有测地线所对应的曲线是直线.

3、一条曲面曲线C是测地线的充分必要条件是:在C上每点的主法线与该点的曲面法线重合,即C的密切面包含曲面法线.

4、如果两个曲面沿一共同曲线C相切,假设C是其中一个曲面的测地线,则C也是另一个曲面的测地线.

5、通过曲面上每点沿每一方向有一条且有一条测地线.

6、在充分小的邻域里,测地线是短程线,即连接曲面上两个邻近点的一切曲面曲线中,测地线的长度最短.

       [测地坐标]  若取坐标线u=常数为测地线=常数的正交轨线,则称为测地坐标,这族正交轨线称为测地平行线,这时


                           

以测地坐标表示的总曲率为


                           

若测地线=常数交于一点O表示测地线和测地线的交角,则称为测地极坐标,这时的测地平行线称为测地圆,其半径等于u.

       [高涅-波恩涅公式]  G为曲面S上一个单连通区域,G的边界C是一条逐段光滑并无自交点的闭曲线,其运行的方向是使G总是在它的左侧.

7.29

       表示曲线C上任一点的测地曲率,为曲面面积元素,分别为C的角点的内角(图),则在G上的二重积分


                 

这称为高斯-波恩涅公式.特别

       1、如果C是一条正则曲线(即无角点),这时,则


                 

       2、如果C是由n条测地线组成的测地多角形,这时(因=0


                  

       时,C为三条测地线组成的测地三角形,这时


                       

因次,的曲面上的测地三角形三内角之和大于的曲面上测地三角形三内角之和小于的曲面上测地三角形三内角之和等于.