第八章         矢量算法与场论初步·张量

算法与黎曼几何初步

    本章包括两个部分.        

第一部分是矢量代数、矢量分析及其在场论中的应用.主要内容有：矢量的概念、矢量的算法与矢量的坐标表示；以矢量作为工具介绍了场论中的一些基本内容.例如梯度、散度与旋度等基本概念及其计算公式和性质，以及它们在不同坐标系中的表达式；叙述了矢量的积分定理(高斯公式、斯托克斯公式和格林公式)；引进了仿射坐标系，阐述了三维空间中的协变矢量和逆变矢量，同时把这些概念推广到n维空间中去.

第二部分是张量代数、张量分析及其在黎曼几何中的应用.介绍了张量的概念和一些张量算法，然后以张量作为工具来阐述仿射联络空间的基本内容.例如，仿射联络、矢量和张量的平行移动，及协变微分法与自平行曲线等；并在n维空间中引进度量的概念，来定义黎曼空间，从而由具有特殊条件的仿射联络引出了黎曼联络，于是有关仿射联络空间中的一些性质可以搬到黎曼空间中来.可是，因为黎曼空间是由度量定义的，所以与度量有关的一些性质在仿射联络空间中是没有的.

                               §1   矢量算法

一、 矢量代数

    ［矢量概念］  只有大小的量称为标量(也称为数量或纯量).例如温度、时间、质量、面积、能量等都是标量.

    具有大小和方向的量称为矢量(也称为向量).例如力、速度、力矩、加速度、角速度、动量等都是矢量．

    在几何中的有向线段就是一个直观的矢量.通常用空间中的有向线段AB来表示矢量.用长度表示大小，用端点的顺序AB表示方向.A称为始点，B称为终点，这个矢量记作，或用黑正体字母a表示.矢量的大小(或长度)的数值称为它的模或绝对值，用记号或|a|表示.

    矢量按其效能可分成三种基本类型：

    具有大小和方向而无特定位置的矢量称为自由矢量.例如力偶.

    沿直线作用的矢量称为滑动矢量.例如作用于刚体的力.

    作用于一点的矢量称为束缚矢量.例如电场强度.

    在这里所讨论的矢量，除特别说明外，都指自由矢量，就是说，所有方向相同，长度相等的矢量，不管始点如何，都看作相同的矢量.

    模等于1的矢量称为单位矢量.

    模等于零的矢量称为零矢量，记作０，它是始点和终点重合的矢量.

    模与矢量的模相等而方向相反的矢量称为a的负矢量，记作-a.

始点与原点O重合而终点位于一点M的矢

量(图8.1)称为点M的矢径(或向径)，记作

r，原点称为极点.如果M的直角坐标为x，y，z ,

则有

        r＝＝(x，y，z)＝xi＋yj＋zk

式中i，j，k分别为x轴，y轴，z轴的正向单位

矢量，称为坐标单位矢量(或基本矢量).

［矢量的基本公式］

名    称	公    式	图    形
矢量a的坐标表示   坐标单位矢量i，j，k 的坐标表示   零矢量的坐标表示   a的长度(或模)   a的方向余弦(,, 为a的方向角)   矢量(两端点 A， Ｂ的坐标分别为( ax,ay,az), (bx,by,bz)	a＝axi＋ayj＋azk＝(ax, ay, az)   i＝(１，０，０)   j＝(０，１，０)   k＝(０，０，１)   0＝(０，０，０)(0无方向)   = a＝     ＝(bx－ax)i＋(by－ay)j        ＋(bz－az)k

    ［加法］  若a＝(a_x,a_y,a_z)，b＝(b_x,b_y,b_z)，则

a＋b=( a_x＋b_x,a_y＋b_y,a_z＋b_z)

把矢量的始点移到原点O，以a，b为边作平行四边行，由原点作出的对角线就表示和矢量a＋b(称为平行四边形法则，见图8.2);或者把二矢量首尾相接,由始点到终点的矢量即为和矢量a+b(称为三角形法则，见图８.3).

加法运算适合如下规律：

                             (交换律)

                     (结合律)

    a＋０＝０＋a＝a，a＋(－a)＝０

    ［减法］  若a＝(a_x,a_y,a_z)，b＝(b_x,b_y,b_z)，则

              a－b＝(a_x－b_x，a_y－b_y，a_z－b_z)

把矢量b的负矢量与矢量a相加，得矢量a－b

(图8.4).

    对任意两个矢量a和b成立三角形不等式：

                          |a＋b||a|＋|b|

    ［数乘］  以实数乘矢量a称为数乘，记作a.当>０时，a的模伸缩倍，方向保持不变；当<０时，a的模伸缩||倍，而方向与a相反(图8.5)，如果a=(a_x,a_y,a_z)则

a＝(a_x, a_y, a_z)

设，为两实数，a，b为两矢量，则数乘运算适合

下列规律：

(a)＝()a           (结合律)

(＋)a＝a＋a       (分配律)

(a＋b)＝a＋b         (分配律)

    ［矢量的分解］

    1   设a，b，c为三个共面的矢量，而b和c为非共线矢量，如果把它们移到公共始点Ｏ，由矢量c的终点C作两条平行于a，b的 

直线，各交a，b(或延长线)于Ｍ，Ｎ(图８.6)，则

c＝+= a＋b

这称为矢量c对a，b的分解.

    2   设a，b，c 为非共面矢量，而d为任一矢量，把

它们移到公共始点Ｏ，由矢量d的终点D作三个平面分别

平行于(b，c)平面，(c，a)平面和(a，b)平面，且与a，b，c(或延长线)分别交于Ｌ，Ｍ，Ｎ(图8.7)，则

        d＝++＝a＋b＋   

称为矢量d对a，b，c的分解.

    3   如果两个非零矢量a与b有线性关系

                   a＋b＝０

式中, 不全为0，则称这两个矢量共线(即

a//b)；反之也真.称这两个矢量a，b为线性相关.

    4   设a,b为两个非零矢量，若a＋b ＝０，则有＝０，＝０，这时称a，b为线性无关.

    5   若三个非零矢量a，b，c有线性关系a＋b＋＝０，式中，，不全为零，则这三个矢量共面，反之也真.这时，称a，b，c为线性相关.如果a，b，c为三个非零矢量，而a＋b＋＝０，则有＝＝＝０，这时,称a，b，c为线性无关.

    6   四个(或四个以上)矢量a，b，c，d必有线性关系；就是说它们一定线性相关.这时，必有不全为０的四个数，，，，成立a＋b＋＋d＝０.

    ［标量积(数量积、点积、内积)］  设a＝(a_x, a_y, a_z)，b＝(ｂ_x,ｂ_y,ｂ_z)，|a|＝a，|b|＝b，a，b两矢量的夹角为，则称数值ab cos为矢量a，b的标量积(也称为数量积、点积或内积).记作

     a·b＝ab＝ab cos(０)

可以看作矢量a的长度乘以矢量b在a上的投影的长度(图8.8).

    标量积运算适合以下的规律：

a·b＝b·a                   (交换律)

a·(b＋c)＝a·b＋a·c         (分配律)

(a)·(b)＝a·b   (数乘的结合律)

a·a＝a^２＝|a|^２＝a^２

若a，b为非零矢量，a·b＝０，则ab；反之也真.

i·i＝j·j＝k·k＝1，i·j＝j·k＝k·i＝０

a·b＝a_xb_x＋a_yb_y＋a_zb_z                            (即对应坐标相乘之和)

    ［矢量积(叉积、外积)］设a＝(a_x,a_y,a_z)，b＝(b_x,b_y,b_z)，|a|＝a，|b|＝b，a，b两矢量的夹角为，则定义a×b为两矢量的矢量积(也称为叉积或外积),它是一个矢量,即长度等于以a，b为边的平行四边形的面积(图8.9阴影部分)

         |a×b|＝ab sin        (０)

它的方向垂直于两矢量a和b,并且a，b，a×b构成

右手系(图8.9).

矢量积运算适合下列规律：

a×b＝－b×a          (反交换律)

(a+b)×c＝a×c＋b×c   (分配律，次序不能交换)

(a)×(b)＝(a×b)

[(＋)a]×b＝(＋)(a×b)＝(a×b)＋(a×b)

a×a＝０

    若a，b为非零矢量，则a，b共线(即a//b)的充分必要条件是：

a×b＝０

i×i＝j×j＝k×k＝０，i×j＝k，j×k＝i，k×i＝j

a×b＝＝(a_y b_z- a_z b_y)i+( a_z b_x－a_x b_z)j+( a_x b_y－a_y b_x)k

    [两矢量的夹角]

cos(a，b)＝

sin(a，b)＝

    [拉格朗日恒等式]

(a×b)·(c×d)＝(a·c)(b·d)－(a·d)(b·c)

特别                 (a×b)²=a²b²－(ab)²

即                   (a_y b_x- a_z b_y)²+( a_z b_x－a_x b_z)²+( a_x b_y－a_y b_x)²

                     ＝(a_x²+a_y²+a_z²)(ｂ_x²+b_y²+b_z²)－(a_xb_x+a_yb_y+a_zb_z)²

    [三个矢量的混合积]  设a＝(a_x,a_y,a_z)，b＝(b_x,b_y,b_z)，c＝(c_x,c_y,c_z)为三个矢量,则它们的混合积定义为

(abc)＝a·(b×c)＝＝a_x(b_yc_z－b_zc_y)＋a_y(b_zc_x－b_xc_z)＋a_z(b_xc_y－b_yc_x)

    混合积具有性质:

    1  a·(b×c)＝(a×b)·c

    注意,一般情况下等式

(a·b)·c =a·(b·c)

(a×b)×c =a×(b×c)

不成立.

    2  (abc)＝(bca)＝(cab)=－(acb)=－(bac)=－(cba)

即有轮换性：

a·(b×c)＝b·(c×a)＝c·(a×b)＝－a(c×b)＝－b(a×c)＝－c(b×a)

    3  混合积(abc)是一个数，它的绝对值等于以a，b，c为边的平行六面体的体积.

    4  三个矢量共面的充分必要条件是：(abc)＝0.

    [三重矢积]

a×(b×c)＝(a·c)b－(a·b)c

(a×b)×c＝(a·c)b－(b·c)a

采用a，b，c轮换法还可推出其余两个同类公式.

    [多重积的几个公式]

a×(b×c)＋b×(c×a)＋c×(a×b)＝０

(a×b)·(c×d)＝＝(a·c)(b·d)－(a·d)(b·c)

(a×b)×(c×d)＝(abd)c－(abc)d＝(cda)b－(cdb)a

a×[b×(c×d)]＝(b·d)(a×c)－(b·c)(a×d)

(a×b  b×c  c×a)＝(abc)^２

(a_１a_２a_３)(b_１b_２b_３)＝

(a×b  c×d  e×f)＝(abd)(cef)－(abc)(def)