二、    矢量分析

    1．矢量微分

    [矢函数]  对于自变量t(标量)的每一个数值都有变动矢量a的确定量(长度与方向都确定的一个矢量)和它对应，则变(矢)量a称为变量t的矢函数，记作

a＝f(t)

矢函数也可表为

a=a_xi＋a_ｙj＋a_zk

式中

a_x＝f_x(t)，a_y＝f_ｙ(t)，a_z＝f_z(t)

为三个标函数.

    若把变动矢量表成点M的矢径形式

r＝r(t)

则当t变动时，点M在空间中描出一条曲线，称为矢函数的矢端曲线.它的坐标由三个等式给定：

r =xi＋yj＋zk

x＝x(t)，y＝y(t)，z＝z(t)

    [矢函数的极限与连续性]  若对任意给定的>0 , 都存在数>0，使得当|t－t_０|<时

_|r(t)－r_０|<

成立，则称r_０为矢函数r(t)当tt_０时的极限，记作

= r₀

    若存在，则

＝i+j+k

    若 = r(t₀),则称矢函数r(t)在t＝t_０处连续.

    [矢函数的导数与微分]  如果极限

存在，就称它为矢函数a＝f(t)的导数，记作.矢函数a＝f(t)的导数仍为矢函数，从而还可求它的导数，即二阶导数，记作，等等.

da＝dt

称为矢函数a＝f(t)的微分.

    [矢函数求导公式]

＝0        (c为常矢量)

(ka)＝k   (k为常数)

(a＋b＋c)＝

(a)＝a＋            (是t的标函数)

 (a·b)＝·b＋a·         (顺序可以交换)

 (a×b)＝×b＋a×       (顺序不可以交换)

 (abc)=( bc)+(ac)+(ab)  (顺序不可以交换)

                          a [(t)]=      

 (是t的标函数，这是复合函数的求导公式)

    [矢径形式的矢函数求导公式]  设

r＝r(t)＝x(t)i＋y(t)j＋z(t)k

表示矢函数的矢端曲线，则

    1  ＝=i＋j＋k

表示矢端曲线的切线矢量(图8.10)，指向t增加的方向，式中＝, =, =

    2   = t

式中s为矢端曲线的弧长，t为切线的单位矢量.

    3  ＝i＋j＋k

式中＝,=,=

    [矢函数的泰勒公式]

        r(t＋t)＝r(t)＋(t)t＋(t)(t)^２＋···＋r⁽ⁿ⁾(t)(t)ⁿ＋r_n(t)ⁿ⁺¹

式中

r_n＝x⁽ⁿ⁺¹⁾(t₁)i＋y⁽ⁿ⁺¹⁾(t₂)j＋z⁽ⁿ⁺¹⁾(t₃)k    (t < t₁ , t₂ , t₃ < t＋t)

r⁽ⁿ⁾(t)= x⁽ⁿ⁾(t)i＋y⁽ⁿ⁾(t)j＋z⁽ⁿ⁾(t)k

x⁽ⁿ⁾=, y⁽ⁿ⁾=, z⁽ⁿ⁾=

[矢量函数的几个常用性质]

1  定长矢量r(t)(t)，反之也真.从而切线的单位矢量ｔ的导数与原矢量垂直.

2  定向矢量r(t)//(t)，反之也真.

3  一个变动矢量r(t)平行于一个定平面的充分必要条件是：混合积

()＝0