三、    曲线积分、曲面积分与体积导数

[矢量的曲线积分及其计算公式]  矢量场r(r)沿曲线的曲线积分定义为

r(r)·dr＝r()·r_i-1

式中r_i-1=r_i－r_i-1，右边极限与的选择无关，曲线

由A到B(图8.13)

若矢函数Ｒ(r)是连续的(就是它的三个分量是

连续函数), 曲线也是连续的, 且有连续转动的

切线, 则曲线积分

存在.

若Ｒ(r)为一力场，则Ｐ＝就等于把

一质点沿着G 移动时力Ｒ所作的功.

    矢量曲线积分的计算公式如下：

        ＝

        =＋  (图8.14)

        =－

        =＋

        =k    (k为常数)

[矢量的环流]  如果G为一闭曲线，则沿曲线G 的曲线积分

＝

称为矢量场Ｒ(r)沿闭曲线G 的环流.

    势量场沿任何闭曲线的环流都等于零.如果Ｒ(r)为一势量场，且它的势函数为时，则曲线积分

             =＝(B)－(A)

与连接A，B两点的路径无关，只依赖于A，B两点的

位置(图8.15).

    [矢量的曲面积分]  设S为一曲面，令N＝表示在曲面S上一点的法线单位矢量,V而dS＝NdS表示面积矢量元素.又设(r)=(x, y,z)是定义在曲面S上的连续标函数，R(r)=(X(x, y,z),Y(x, y,z), Z(x, y,z))是定义在曲面S上的连续矢函数，则曲面积分有如下的三种形式：

    1  标量场的通量(或流量)

        dS=dydz i＋dzdx j＋dxdy k

式中S_yz，S_zx，S_xy分别表示曲面S在Oyz平面，Ozx平面，

Oxy平面上的投影.S_xy的正负号规定如下：当从ｚ轴正方

向看去时，看到的是曲面S的正面，认为S_xy为正，如果

看到的是曲面的反面，则认为S_xy为负(图8.16).

    2  矢量场的标通量

    R·dS=Xdydz＋Ydzdx＋Zdxdy

式中S_yz等的意义同1.

3  矢量场的矢通量

R×dS＝(Zj－Yk)dydz＋(Xk－Zi)dzdx＋(Yi－Xj)dxdy

式中S_yz等的意义同1.

    [矢量的体积导数]  如果S是包围体积V的闭曲面，并包含点r，则沿闭曲面S的曲面积分(dS, R·dS, R×dS)与体积V之比，当V趋于零时(即它的直径０)的极限称为标量场(或矢量场R)在点r处的体积导数(或空间导数).

    1  标量场的体积导数就是它的梯度：

grad＝

    2  矢量场Ｒ的体积导数之一是它的散度：

div R＝

    3  矢量场Ｒ的另一个体积导数是它的旋度：

rot R＝－