§3   仿射坐标系

一、 仿射坐标系与度量系数

    [仿射坐标]  在三维欧氏空间*中，若取一个直角坐标系，其坐标单位矢量为i，j，k时，则空间中的矢量a可表示为

a＝a_x i＋a_y  j＋a_z k

    一般地，在空间中给定了三个不共面的矢量e₁，e₂，e₃，则空间中任一矢量a可按这三个矢量分解，令其系数为a¹,a²,a³(这里1,2,3不是指数，而是上标)则a可表示为

a＝a¹e₁＋a²e₂＋a³e₃

或简计作**                 a＝aⁱe_i

a＝a¹,a²,a³＝{ aⁱ}***

这种坐标系e₁,e₂,e₃称为仿射坐标系，e₁,e₂,e₃称为坐标矢量，a¹,a²,a³称为矢量a的仿射坐标.

    [欧氏空间中度量系数]  当矢量a写成上面的形式时，则它的长度a由

(a)²＝(aⁱe_i)(a^je_j)＝(e_ie_j)aⁱa^j

给出.令

e_ie_j＝g_ij(＝g_ji)   (i，j＝1,2,3)

则称g_ij为仿射坐标系的度量系数.

    1  矢量a的长度由

(a)²＝g_ijaⁱa^j

计算.

    2  两个矢量

a＝aⁱe_i，b＝b^je_j

的夹角由

cos＝

计算.

    3  因为g_ijaⁱa^j是正定二次型，所以由g_ij所作的行列式

混合积

(e_１,e_２,e_３)²= =g

(e_１,e_２,e_３)=

    [克罗内克尔符号]  对称矩阵

的逆矩阵用

来表示.由逆矩阵的性质，有g^ij=g^ji和

g^ikg_kj=

式中

=

称为克罗内克尔符号.

    [互易矢量]  利用这个g^ij规定

eⁱ=g^ije_j

因而有

e_j=g_ijeⁱ

eⁱe_k=(g^ije_j)e_k=g^ij(e_je_k)=g^ijg_jk=

eⁱe^j=(g^ile_l)(g^jme_m)=g^ilg^jm(e_le_m)=g^ilg^jmg_lm=g^il=g^ij

    对e_１,e_２,e_３，可以得到

e¹=(e₂×e₃),

e²=(e₃×e₁), e³=(e₁×e₂)

e¹,e²,e³称为关于坐标矢量e₁,e₂,e₃的互易矢量. g^ij称为互易矢量的仿射坐标系中的度量系数.