二、    逆变矢量与协变矢量

    [逆变矢量与协变矢量]  如果矢量a在坐标系e_１,e_２,e_３中的仿射坐标a¹,a²,a³是由公式

a＝a¹e₁＋a²e₂＋a³e₃=aⁱe_i

给出，则a¹,a²,a³称为矢量a的逆变坐标(或称为抗变坐标)，而矢量aⁱ称为逆变矢量(或称为抗变矢量).

    如果关于坐标矢量e_１,e_２,e_３的互易矢量为e¹,e²,e³，矢量a在坐标系e¹,e²,e³中的仿射坐标a₁,a₂,a₃是由公式

a＝a₁e¹＋a₂e²＋a₃e³=a_je^j

给出，则a₁,a₂,a₃称为矢量a的协变坐标，而矢量a_j称为协变矢量.

    在直角坐标系中，矢量的协变坐标与逆变坐标是一致的.一般地，在仿射坐标系中协变坐标与逆变坐标有关系

a_i=a·e_i=(a^je_j)·e_i=a^j(e_j·e_i)=a^jg_ji

[逆变矢量与协变矢量的标量积]

    如果a , b为两个矢量，a¹ ,a² ,a³ ; b¹ ,b² ,b³分别为它们的逆变坐标，则

a·b=g_ijaⁱb^j

    如果a , b为两个矢量，a¹ ,a² ,a³ ; b₁ ,b₂ ,b₃分别为它们的协变坐标，则

a·b=g^ija_ia_j

如果a的逆变坐标为a¹,a²,a³,b的协变坐标为b¹ ,b² ,b³ , 则

a·b=aⁱb_i