二、    勒维－奇维塔的平行性

    仿射联络空间中的平行移动，是由仿射联络决定的.在具有度量张量g_ij的黎曼空间Vⁿ中，利用黎曼联络来定义相应的平行移动称为Vⁿ的勒维－奇维塔平行移动.

    设沿Vⁿ中某一曲线 xⁱ =xⁱ(t) 给定了矢量场aⁱ =aⁱ(t)，如果沿这条曲线作一无穷小位移时，矢量aⁱ(t)按规律

变化，则称矢量aⁱ(t)沿曲线作勒维－奇维塔平行移动.

    勒维－奇维塔平行移动具有性质：

    1  度量张量g_ij的协变导数等于零，即

还有                          ,  

    2  若两族矢量aⁱ(t)和bⁱ(t)都沿曲线平行移动，则

所以两矢量的标量积与夹角在平行移动下保持不变.

    3  黎曼空间Vⁿ中的自平行曲线(也称为测地线)和仿射联络空间中自平行曲线的情况完全一样，都由微分方程

所确定.不过这里的是黎曼联络.所以一曲线为测地线的充分必要条件是它的单位切矢量互相平行.