第九章           抽象代数·线性空间·泛函分析

本章内容包括抽象代数、线性空间与泛函分析三个部分，重点介绍线性空间. 为了介绍线性空间的需要，这里简略地介绍了抽象代数的初步知识，即群、环、域等基本概念及其简单的性质. 泛函分析是作为线性空间的理论在分析上应用的一个范例来介绍的，因而也不作系统的叙述. 在这里除了叙述勒贝格积分的基本概念与重要性质外，还扼要地介绍了赋范线性空间、希尔伯特空间、巴拿赫空间和它们的一些简单的性质.

    在线性空间部分介绍了线性空间、线性变换、酉空间、二次型和埃尔米特型、方阵的若当标准型等的定义、性质以及一些算法.

§1  抽象代数

一、基本代数系统

    [代数运算]  假定对于集（见第二十一章，§1，一）A中任意元素a与集B中任意元素b，按某一法则可以与某一集C中唯一确定的元素c对应，则称这个对应为A，B的一个（二元）代数运算. 集A，B也可以是同一个集，就是对A中任两个元素a，b，可以唯一确定元素c，使，c可属于A或不属于A，若属于A，则称A在运算下是封闭的.

在二元运算下，若对A的任意两个元素a和b成立，则称A是可交换的. 若对A的任意三个元素a，b，c在下，成立，则称A是可结合的. 若运算是通常的加法或乘法，就分别记作或. 整数集中的加法和乘法都是可交换的与可结合的，因此整数集是可交换和可结合的.

[代数系统]  如果一个集A具有满足某些法则的代数运算，就称集A为代数系统. 群、环、域就是三个基本的代数系统.