三、环

[环的定义与例子一个非空集R有加法和乘法两个二元运算,若满足下列三个条件,就称R为一个环:

iR是一个加法群;

ii)对乘法满足结合律. 即对任何,有


                             

iii)对加法和乘法满足左、右分配律. 即对任何,有


                      


一个环若满足乘法的交换律,则称R为交换环.

例1          一切整数全体是一个环,称为整数环.

例2          F是一个数域,则域F上的多项式的全体是一个环,记作F[x].

例3          如果数集R中任意两个数的和、差、积仍属于R,则R也是一个环,称为数环. 单个数零也是一个数环,
称为零环,显然,数环总是交换环
.

例4          R是一个环,一切用R的元所成的n阶方阵在矩阵的加法与乘法之下,构成一个环,称为R上的n阶全方阵环,记作. 时,为非交换环.

[环的基本性质因为环是一个加法群,所以它具有加法群的一切性质. 因此只介绍由乘法所表示的各种性质.

1o

2o

3o 对减法分配律成立,即
                

4o 一般结合律成立,即


                  

5o 一般分配律成立,即


                   

6o 对任意整数m,有


                  

7o 对正整数的指数定律成立,即


                  


对交换环还有


                  

[零因子与单位元在环R中,若,使,则称aR的左(右)零因子,记作. 又称ab的左(右)零化元. 一个元同时是左、右零因子,就称它为零因子. 若环中无零因子,就称它为无零因子环. n阶全方阵环就是无零因子环.

若环R中有元素,对任一,有,则称R的左(右)单位元. 同时是左、右单位元,即,则称eR的单位元. 这时称R为有单位元环. 例如整数环是单位元环,1就是它的单位元;n阶全方阵环有单位元,就是单位矩阵I.

R有单位元,则单位元是唯一的;若R有单位元e,并对有逆元,则是唯一的.

有单位元而无零因子的交换环称为整环. 例如整数环、数域都是整环.

[子环与扩张环S是环R的一个子集,若SR的两个运算组成一个环,则称SR的一个子环,称RS的扩张环.

环本身可以看作是它的子环,零环也是它的子环. 异于本身与零环的子环称为真子环.

R的子集S成为R的子环的充分必要条件是:

(i)  S为非空集;

(ii) ,则

(iii) ,则.

[理想与主理想R是一个环,IR的一个子集,若I中任意两个元素之差以及I中任意元素aR中任意元素r的乘积都属于I,则称IR的一个理想. 例如偶数全体是整数环的一个理想. 每一个理想是已知环的子环,其逆不真.

一个环的任意多个理想的交集仍是这个环的理想. 特别,环中含有某一固定元素r的一切理想的交集仍是这个环的理想,即它是由一个元素r生成的理想,称为主理想,记作(r.