三、环

[环的定义与例子]  一个非空集R有加法和乘法两个二元运算，若满足下列三个条件，就称R为一个环：

（i）R是一个加法群；

（ii）对乘法满足结合律. 即对任何，有


                             

（iii）对加法和乘法满足左、右分配律. 即对任何，有


                      


一个环若满足乘法的交换律，则称R为交换环.

例1          一切整数全体是一个环，称为整数环.

例2          设F是一个数域，则域F上的多项式的全体是一个环，记作F[x].

例3          如果数集R中任意两个数的和、差、积仍属于R，则R也是一个环，称为数环. 单个数零也是一个数环，
称为零环，显然，数环总是交换环.

例4          若R是一个环，一切用R的元所成的n阶方阵在矩阵的加法与乘法之下，构成一个环，称为R上的n阶全方阵环，记作. 当时，为非交换环.

[环的基本性质]  因为环是一个加法群，所以它具有加法群的一切性质. 因此只介绍由乘法所表示的各种性质.

1o

2o

3o 对减法分配律成立，即
                

4o 一般结合律成立，即


                  

5o 一般分配律成立，即


                   

6o 对任意整数m，有


                  

7o 对正整数的指数定律成立，即


                  


对交换环还有


                  

[零因子与单位元]  在环R中，若，使，则称a为R的左（右）零因子，记作. 又称a为b的左（右）零化元. 一个元同时是左、右零因子，就称它为零因子. 若环中无零因子，就称它为无零因子环. n阶全方阵环就是无零因子环.

若环R中有元素，对任一，有，则称为R的左（右）单位元. 若同时是左、右单位元，即，则称e为R的单位元. 这时称R为有单位元环. 例如整数环是单位元环，1就是它的单位元；n阶全方阵环有单位元，就是单位矩阵I.

若R有单位元，则单位元是唯一的；若R有单位元e，并对有逆元，则是唯一的.

有单位元而无零因子的交换环称为整环. 例如整数环、数域都是整环.

[子环与扩张环]  设S是环R的一个子集，若S对R的两个运算组成一个环，则称S为R的一个子环，称R为S的扩张环.

环本身可以看作是它的子环，零环也是它的子环. 异于本身与零环的子环称为真子环.

环R的子集S成为R的子环的充分必要条件是：

(i)  S为非空集；

(ii) 若，则；

(iii) 若，则.

[理想与主理想]  设R是一个环，I是R的一个子集，若I中任意两个元素之差以及I中任意元素a与R中任意元素r的乘积和都属于I，则称I为R的一个理想. 例如偶数全体是整数环的一个理想. 每一个理想是已知环的子环，其逆不真.

一个环的任意多个理想的交集仍是这个环的理想. 特别，环中含有某一固定元素r的一切理想的交集仍是这个环的理想，即它是由一个元素r生成的理想，称为主理想，记作（r）.