三、对偶空间与对偶映射
[数量积与对偶空间] 设V和是两个实(复)线性空间. 若对任意一对矢量确定了一个数量,并满足下列条件:
(i)
(ii) 对一个固定的和一切,若则;反之,对一个固定的和一切,若则.则称函数为数量积.
若,则称是正交的. (ii)表明,一个空间中一个矢量与另一个空间中一切矢量正交,只当它是零矢量时才成立.
定义了数量积的两个线性空间称为对偶空间.
对偶空间的维数相等.
[对偶基底] 若V和的两个基底和满足关系式:
则称它们为对偶基底.
V和是对偶空间,则对于V的一个已知基底,恰有一个对偶基底.
[正交补空间] 设是V的一个子空间,则空间V中与的一切矢量都正交的矢量组成的集合是V的一个子空间,称为的正交补空间,记作.
正交补空间有以下性质:
1o空间和的维数之和等于空间V的维数,即
2o
3o若,则;而且和是一对对偶空间,和也是一对对偶空间.
[共轭空间] 设V是域F上的线性空间,若对,在F上有唯一的一个数与对应,则称这个对应关系为定义在V上的一个函数.
函数
若对任二矢量与任意,都有
则称为线性函数,又称为线性泛函. 令,则有,因此又称线性函数为线性齐次函数或线性型.
V中线性函数的集的两个函数,的和与数乘按通常的方式定义如下:
则构成一个线性空间,称为V的共轭空间,的零矢量是一个恒等于零的函数.
可以证明和V是一对对偶空间,若{}是V的一组基底,则由下列方程定义的函数为的一个基底:
因而{}又是{}的共轭基底.
[对偶映射] 设V,与W,是两对对偶空间;若两个线性映射:
与
对于一切与一切,都有
则称L,为对偶映射.
对偶映射有以下性质:
1O对一个已知的线性映射,恰有一个对偶映射.
2O对偶映射L和的秩相等.
3O一个矢量包含在象空间中的充分必要条件是:与核中的一切矢量正交.