三、对偶空间与对偶映射

    [数量积与对偶空间]  V是两个实(复)线性空间. 若对任意一对矢量确定了一个数量,并满足下列条件:

(i)     

     

(ii) 对一个固定的和一切,;反之,对一个固定的和一切,.则称函数为数量积.

,则称是正交的. (ii)表明,一个空间中一个矢量与另一个空间中一切矢量正交,只当它是零矢量时才成立.

定义了数量积的两个线性空间称为对偶空间.

对偶空间的维数相等.

[对偶基底]  V的两个基底满足关系式:

则称它们为对偶基底.

    V是对偶空间,则对于V的一个已知基底恰有一个对偶基底.

[正交补空间]  V的一个子空间,则空间V中与的一切矢量都正交的矢量组成的集合V的一个子空间,称的正交补空间,记作.

正交补空间有以下性质:

1o空间的维数之和等于空间V的维数,即

  

2o

3o,则;而且是一对对偶空间,也是一对对偶空间.

    [共轭空间]  V是域F上的线性空间,若对,在F上有唯一的一个数对应,则称这个对应关系为定义在V上的一个函数.

    函数

若对任二矢量与任意,都有

则称为线性函数,又称为线性泛函. ,则有,因此又称线性函数为线性齐次函数或线性型.

    V中线性函数的集的两个函数的和与数乘按通常的方式定义如下:

构成一个线性空间,称V的共轭空间,的零矢量是一个恒等于零的函数.

    可以证明V是一对对偶空间,若{}V的一组基底,则由下列方程定义的函数的一个基底:

因而{}又是{}的共轭基底.

[对偶映射]  VW是两对对偶空间;若两个线性映射:

                                         

对于一切与一切,都有

则称L为对偶映射.

对偶映射有以下性质:

1O对一个已知的线性映射,恰有一个对偶映射.

2O对偶映射L的秩相等.

3O一个矢量包含在象空间中的充分必要条件是:与核中的一切矢量正交.