二、酉空间上的特殊线性变换

[共轭变换]  对域F上酉空间V上的一个线性变换L,由关系式


                                   

所定义的变换是线性变换, 称为L的共轭变换. ,则称L为正规变换.

共轭变换有以下性质:

1o

2o

3o

4o

5oL是非奇异线性变换,则也是非奇异线性变换,并且

                                    

6o若在某一标准正交基下L的矩阵为A,则共轭变换关于这同一基底的矩阵为A的共轭转置矩阵.

    [自共轭变换(埃尔米特变换)]  ,则称L为自共轭变换或埃尔米特变换.

自共轭变换有以下性质:

 1oLM为自共轭变换,也是自共轭变换. LM可交换时,LM也是自共轭变换.

 2o在标准正交基下,自共轭变换的矩阵是埃尔米特矩阵. 反之,线性变换关于一标准正交基的矩阵是埃尔米特矩阵,则必为自共轭变换.

 3o自共轭变换的特征值是实的.

4o有适当的标准正交基使自共轭变换L对应于一个实对角线矩阵,其主对角线上的元素是L的全部特征值.

    [酉变换]  若对酉空间V中的任意,有线性变换L,使


                         

则称L为酉变换.

    酉变换有以下性质:

1o恒等变换为酉变换.

2oLM为酉变换,则LM也为酉变换.

3oL为酉变换,则也为酉变换.

4oL为酉变换的充分必要条件是:

                      

5o在标准正交基下,酉变换L的矩阵是酉矩阵. 反之,线性变换关于一标准正交基的矩阵是酉矩阵,则必为酉变换.

6o酉变换的特征值的绝对值都是1.