二、酉空间上的特殊线性变换
[共轭变换] 对域F上酉空间V上的一个线性变换L,由关系式
所定义的变换是线性变换, 称为L的共轭变换. 若,则称L为正规变换.
共轭变换有以下性质:
1o
2o
3o
4o
5o若L是非奇异线性变换,则也是非奇异线性变换,并且
6o若在某一标准正交基下L的矩阵为A,则共轭变换关于这同一基底的矩阵为A的共轭转置矩阵.
[自共轭变换(埃尔米特变换)] 若,则称L为自共轭变换或埃尔米特变换.
自共轭变换有以下性质:
1o若L,M为自共轭变换,则也是自共轭变换. 当L,M可交换时,LM也是自共轭变换.
2o在标准正交基下,自共轭变换的矩阵是埃尔米特矩阵. 反之,线性变换关于一标准正交基的矩阵是埃尔米特矩阵,则必为自共轭变换.
3o自共轭变换的特征值是实的.
4o有适当的标准正交基使自共轭变换L对应于一个实对角线矩阵,其主对角线上的元素是L的全部特征值.
[酉变换] 若对酉空间V中的任意,有线性变换L,使
则称L为酉变换.
酉变换有以下性质:
1o恒等变换为酉变换.
2o若L,M为酉变换,则LM也为酉变换.
3o若L为酉变换,则也为酉变换.
4oL为酉变换的充分必要条件是:
或
5o在标准正交基下,酉变换L的矩阵是酉矩阵. 反之,线性变换关于一标准正交基的矩阵是酉矩阵,则必为酉变换.
6o酉变换的特征值的绝对值都是1.