三、射影

    [射影及其性质]  对线性空间V上的一个线性变换P，若有V的两个互补子空间S和T使得若，则

这种变换P称为V沿T在S上的射影.

射影有以下性质：

1^o若P是一个射影，则

因此射影是一个幂等变换；反之，幂等变换必为射影.

2^o若是线性空间V分别沿在上和沿在上的射影，则

(i) 是一个射影，当且仅当若时，则，并且是沿在上的射影.

(ii) 若，则P是沿在上的射影.

3^o设T，S为有限维线性空间的两个互补子空间，P为沿子空间T在子空间S上的射影，则P的矩阵可化为如下形式：

式中A是k阶方阵.

[正射影]  设S，T为复数域上一酉空间 V的互补子空间，则V沿T在S上的射影称为V在S上的正射影.

[自共轭变换的分解]  设L是有限维酉空间V上一个自共轭变换. 令为L的不同特征值，令为使的矢量α的集合，则是V的子空间. 显然对，和是V的正交补空间. 若{}是S_i的一个标准正交基，其中是的维数，则由一切这些所组成的集{}是V的一个标准正交基. 最后使P_i为V在S_i上的射影，则关于上面的基底，L的矩阵有如下的形式：

                     =

式中表示阶单位矩阵. 另一方面，关于这个基底射影P_i的矩阵为

式中表示阶的零矩阵.

因此自共轭变换可以写成射影的一个线性组合.