2、勒贝格积分
[有界函数的勒贝格积分] 在有界区间内给定一个有界可测的实函数
,在
(
)的变化范围内插入分点:
(1)
并用表示使
在
内的点x所构成的集,对每个分法(1)的序列
,当
时,和式
趋于唯一的有限极限I,记作

这个量称为在
内按勒贝格意义的定积分,又称为勒贝格积分,称
在
内是可积(在勒贝格意义下,下同)的.
[无界函数的勒贝格积分] 若在有界区间
内是无界可测函数,则勒贝格积分
定义如下:

式中

[在无界区间上的勒贝格积分] 若对一切
存在,则定义勒贝格积分
如下:

式中
同样可以定义和
.
[在一个点集上的勒贝格积分] 上述有界和无界函数的勒贝格积分的定义可推广到任一个可测集S上的勒贝格积分.
还可推广到n维空间的区域或可测集上的多重勒贝格积分.
[勒贝格积分的存在性与性质]
1o每个有界可测集函数在任一有界可测集上是可积的,在一可测集S上的可积函数在S的每个子集上都是可积的.
2o勒贝格积分存在的充分必要条件是:勒贝格积分
存在.
3o在一个测度等于零的集上的勒贝格积分等于零.
4o设为一组可数的互不相交(即
)的可测集,假定
在
和
上的勒贝格积分都存在,则

5o连续性定理 设和一个正的函数
在一个可测集S上都是可测的,并且对一切n与S中一切x,不等式

几乎处处成立;又设对S中几乎一切x,使成立,则

存在,且

6o勒贝格基本定理 设S是一个可测集,不一定有界.
若
(i) 都是S上非负的可测函数;
(ii)
则