二、希尔伯特空间

[希尔伯特（H）空间] 若无限维酉空间V中每个基本序列收敛于V中一个元素，则称V为完备的. 一个完备的无限维酉空间称为希尔伯特空间，或简称H空间.

在n维空间中的矢量定义为n个数的全体. 类似地，无限维空间中的矢量定义为t从a变到b的函数.

矢量的加法与数乘定义为函数的加法与函数和数的乘法.

在H空间中两矢量的内积（数量积）公式为

                                                           （1）

[H空间的度量] 设，则

为矢量的长度. 设，则矢量与之间的距离等于

这个表达式称为函数与的均方差. 就是以均方差作为希尔伯特空间H中两元素间的距离的度量.

在H空间中两矢量，间的角度定义为

                                                 （2）

因为对任意两个函数与都有不等式

所以等式（2）的右端可以看作某角度的余弦.

[正交函数与正交函数系] 若非零矢量f与g的内积，则由（1）与（2）可知，即. 因此称矢量f和g是正交的. 这时

设表示两两正交的函数，而

为它们的和，则的长度平方等于的长度平方和.

因为H空间中矢量的长度是用积分给出的，所以这时类似于商高定理由下面的公式给出：

以上所述的积分，例如,是指勒贝格积分有意义而言的.

若H空间中函数系

中的任意两函数相互正交，即

则称这个函数系为正交函数系. 若还满足

则称此函数系为标准正交系.

[依标准正交函数系的分解] 若在H空间中给定一个完备的标准正交函数系（即不可能再加一个不恒为零的函数与系中的一切函数正交），则一切函数都可依这个系中函数展开成级数（平均收敛）：

式中函数等于矢量在标准正交系中的矢量上的投影：

可以证明：