第十章 复变函数

本章研究的对象是定义在复数域上的复值函数（简称复变函数）.重点研究一类比较特殊的复变函数——解析函数.主要内容包括解析函数的分析属性（微积分理论及级数表示）、几何性质（保角映射）等.

§1 解析函数

一、复变函数基本概念与复变函数的导数   

    [单值函数与多值函数]  设Σ是扩充复平面（即包含无穷远点∞的平面）z上的一个区域（第二十一章§5，二），对于Σ内的每个复数z，按照一定的规律，有一个或多个复数ω和它对应，就称在Σ上定义了一个复变函数，记作

区域Σ称为函数的定义域.

    如果每一个复数z都只有一个复数ω和它对应（允许不同的复数z对应于同一个复数ω），就称函数是单值的；如果有的复数z有多个ω值和它对应，就称函数是多值的.下面如果不加说明，一律都指单值函数.

    [映射·象·原象]  如果复数z用复平面z（简称z平面）上的点表示，复数ω用复平面ω（简称ω平面）上的点表示，那末复变函数就是z平面上区域Σ的点和ω平面上的某个点集（第二十一章§3，一）F的点之间的对应关系.这样一来，复变函数可以看成几何上的“映射”（变换）（第二十一章§1，二），点ω（）称为点z的象（象点），点z称为点ω的原象（象源）.一般地，当点z在复平面z上画出一个图形A（或点集）时，相应地，它的象点ω在复平面ω上就画出一个图形（或点集）B.称B为A的象，A为B的原象.称函数把A映上B.

[单叶函数与多叶函数·反函数]  如果函数在点集A上单值的，并且对于点集A上的任意两个不同的点z₁和z₂,它们的象ω₁=f(z₁)和ω₂=f(z₂)也不同，那末称函数在点集A上是单叶的，如果点集A上至少有两个不同的点z₁和z₂使，那末称函数在点集A上是多叶的.

    如果单值函数又是单叶的，它就表示A和B的点之间的一对一对应关系，并且对于B上的每一点ω，A上有一个且只有一个点z和它对应.记作

它称为函数的反函数（单值的）.

    如果函数在点集A上不是单叶的，那末它的反函数就是多值的了.

    [双方单值连续的映射定理]  设ω=f(z)是z平面区域Σ内的单值连续函数，如果它又是单叶的，那末Σ的象Δ仍是一个区域，而且反函数在Δ内连续.这种双方单值连续的映射称为拓扑映射或同胚映射.

    [复变函数的极限]  设z₀是函数f(z)的定义域内的一点，如果对任意小的正数ε，都存在一个正数，使得对于任意满足条件∣的复数z（复数z₀本身可能除外），都有

 

那末复数A（有限或无限）称为函数ω=f(z)当z趋于z₀时的极限，记作 

    [复变函数的连续性与一致连续性]  设z₀是函数f(z)的定义域内的一点，如果函数ω=f(z)当z→z₀时极限存在有限，而且同时满足

那末称函数ω=f(z)在点z₀是连续的，如果函数ω=f(z)在区域Σ上每一点都连续,称函数ω=f(z)在区域Σ上是连续的.

    如果对于任意小的正数ε，都存在一个正数δ=δ(ε)，使得区域Σ内满足条件的任意两点z₁和z₂，都有

∣

那末称函数f(z)在Σ上一致连续.

    函数在区域Σ上一致连续，一定在Σ上连续，反过来，函数在区域Σ上连续，不一定保证函数在Σ上一致连续.但是，如果Σ是有界闭区域（记作）,那末上的连续性和一致连续性就等价了.同时，有界闭区域上连续函数ω=f(z)还有类似于微分学中闭区间上连续函数的另外两个性质:

    1^o   如果函数ω=f(z)在有界闭区域上连续，那末存在一个正数M，使得对于上所有的z，都有

∣

    2^o    如果函数ω=f(z)在有界闭区域上连续，那末函数f(z)的模在上可以达到最大值和最小值，也就是说，在上有两点z₁和z₂，使得对于上所有的z，都有

            ∣ ∣

    [复变函数的导数]  设函数ω=f(z)定义在区域Σ上，z₀是Σ内的一点，如果极限

存在,而且有限，那末这个极限值就称为函数f(z)在点z₀的导数，记作

并且称函数在点可微（单演、全纯）.

    复变函数可微的定义与实变函数可微的定义在形式上是一样的，因此复变函数的求导数的一些法则、公式与实变函数的求导数的一些法则、公式在形式上也是一样的.但是另一方面，由于在复变函数的可微性定义中，动点z趋于z₀点是在平面上，方式是任意的，它可沿任一曲线趋于z₀，这表明复变函数可微的条件比实变函数可微的条件要求高，从而带来复变函数论不少独特的性质和应用.

    [复变函数的导数的几何意义（伸缩系数与旋转角）]  设z平面上通过z₀的曲线C，经过映射ω=f(z)（可微）的象是ω平面上通过的曲线，如果那末

    1^o∣称为映射ω=f(z)在z₀的伸缩系数，它等于曲线上通过ω₀的无穷小弦长与曲线C上通过z₀的无穷小弦长之比的极限，它与曲线C和曲线的选择无关；

2^o   称为映射ω=f(z)在z₀的旋转角，如果把z平面与ω平面迭放在一起，使点z₀与点ω₀重合，x轴与u轴平行且正方向相同，那末就等于曲线C在z₀的切线到曲线在对应点ω₀的切线所转过的角度，它与曲线C和曲线的选择无关.