§4  泰勒级数·罗朗级数·留数定理

一、泰勒级数与罗朗级数

   1.泰勒级数

   [泰勒级数展开定理] 设函数在圆)内解析,那末在圆内可以展成泰勒级数

                          

式中

                        

其中是以为圆心,以)为半径的圆周.这个展开式是唯一的.

    复变函数的泰勒级数展开式表与实变函数的幂级数展开式表(第五章§3,九)相类似,只要把实变量换成复变量就可以了.

    [复平面内的幂级数的收敛性] 如果幂级数

                       

在圆内绝对收敛,而在圆外发散,那末称为级数的收敛圆,为收敛半径,并且

                             
或者
                             

   [阿贝耳定理] 对于每个幂级数

                       

存在一个收敛半径)具有下列性质:

    1o  对于内每点,级数绝对收敛.在每一闭圆)上,级数一致收敛.

    2o  ,级数发散.

    3o  内,级数的和是一解析函数.

    由性质3o和泰勒级数展开定理可知,复变函数在一点解析和在点的邻域内可以展开为幂级数是等价的.

   [运算规则] 在公共的收敛圆内,有下列运算规则:

         
         
                                        
          
           

                                         是任意复数)