四、傅立叶级数的收敛性及在第一类间断点的性质

[傅立叶级数收敛性的判别]

1o  假设的傅立叶级数的部分和为

如果当,sm(x)趋于(在某一点x趋于,或在某一区间内一致地趋于)函数,那末函数的傅立叶级数收敛于函数.

2o  如果函数在开区间内分段单调,并在该区间内有有限个第一类间断点,那末(i) sm(x)在连续点x收敛于
(ii)在第一类间断点x0收敛于(iii)在区间的端点,即 上,等于
.(狄利克莱定理)

3o  如果函数在区间上分段可微,在连续点上有导数,在第一类间断点x0处极限

存在,那末sm(x)在连续点x上收敛于,在间断点x0上收敛于

[吉布斯现象]  为周期的函数具有第一类间断点,令,在点函数的跳跃为
,假定函数点的某邻域内没有其他间断点,且有有界变差.令函数
的傅立叶级数部分和为sm(x).那末函数的傅立叶级数在点处是收敛的,但在该邻域内不一致收敛.这时
有一种奇怪的现象
(称为吉布斯现象)出现:

存在点列,和,使得

                   

                   

               

因此,sm(x)在间断点的邻域内的振幅的极限为  

         

它比函数在点的跳跃量(18%),或者是
(11.1).

      函数

的傅立叶级数为

x=0的第一类间断点,其跳跃D=π


y =sm(x) (m=1,2,3,4,5,6)的曲线如图11.2.

存在点列 ,  ,使得

时,sm(x)的极限图形如图11.3(注意在点x=0的形状).