§4  高阶微分方程与微分方程组

一、 高阶微分方程与微分方程组的互化

    已给一个n阶方程

设y₁=y,y₂=y',y₃=y",…,y_n=y^(n-1)，那末解上面n阶微分方程就相当于解下面n个一阶微分方程的方程组

式中y₁,y₂,…,y_n看作自变量x的n个未知函数.

    反过来，在许多情况下，已给n个一阶微分方程的方程组也可以化为一个n阶微分方程.比如，两个一阶微分方程的方程组

                                  (1)

将方程(1)对x求导数

记作

                                            (2)

从方程(1)中解出y₂

代入方程(2)的右边，就得到一个二阶微分方程

这里函数由函数f₁，f₂所确定，因而是已知的.所以两个一阶微分方程组可以化为一个二阶微分方程.