二、   高阶微分方程的几种可积类型及其解法

    1.  y⁽ⁿ⁾ = f(x)

    将方程写成

积分后得到

重复这一过程到积分n次，就得到微分方程的通解：

    2.  F(x,y⁽ⁿ⁾ )=0

    1°  若能解出y⁽ⁿ⁾，则方程化成类型1求解.

    2°  若不能解出y⁽ⁿ⁾，或解出后表达式太复杂，就设法求它的参数形式的解：

    设函数(t),(t)  (<t<)满足

F((t),(t))≡0

则原方程可写成参数形式

x=(t), y⁽ⁿ⁾=(t)

由                                                       dy^(n-1)= y⁽ⁿ⁾dx=(t)'(t)dt

得                                               

又由                                             dy^(n-2)=y^(n-1)dx=₁(t,c₁)'(t)dt

得                                         

    最后得原方程的参数形式的通解

    3.  F(y^(n-1), y⁽ⁿ⁾  )=0

    1°  若从方程可解出y⁽ⁿ⁾:

y⁽ⁿ⁾=f(y^(n-1))

则令y^(n－1)=z，上式化成

这是变量可分离的方程，设解为

z=(x,c₁)

那末化成类型1

y^(n-1)=(x,c₁)

其通解为

    2°  若不能解出y⁽ⁿ⁾，但原方程可写成参数形式：

y^(n-1)=(t),  y⁽ⁿ⁾=(t)

则从                                                             dy^(n-1)= y⁽ⁿ⁾dx

得                                                     

按类型2的方法，可得通解（参数形式）

    4.  F(y^(n-2), y⁽ⁿ⁾  )=0

    设方程可解出y⁽ⁿ⁾：

y⁽ⁿ⁾=f(y^(n-2))

令z=y^(n-2)，方程两边乘以2z'化成

d(z' 2)=2f(z)dz

积分后有

用分离变量法求得

z=(x,c₁,c₂)

那末                                  y^(n-2)=(x,c_1,c₂)

再积分n-2次就得原方程的通解.