四、   常系数非齐次线性微分方程的算子解法与方程组的算子解法(消去法)

    [微分算子与逆算子] 

D,D2,,Dn为微分算子.一般地引进微分算子a1,a2,,

an是常数)规定它的意义是

    还引进微分算子的逆算子,Dk的逆算子记为,规定它的意义是

       (k为正整数)

    P(D)的逆算子记为,它满足条件

注意,的结果不是唯一的,而是一族函数.

    [微分算子的简单性质与运算公式]

微分算子

逆算子

1o  c1c2,…ck为常数,则

     P(D)[c1f1(t)+ c2f2(t)+

          + ckfk(t)]

   =c1P(D)f1(t)+ c2P(D)f2(t)+

          + ckP(D)fk(t)

                     (线性)

2o  PD= P1D)·P2D),则

P(D)f(t) = P1(D)[P2(D)f(t)]

       = P2(D)[P1(D)f(t)]

                     (交换律)

3o    P(D)eλt = eλtP(λ)

4o 

 

c1c2,…ck为常数,则

                                                           (线性)

PD= P1D)·P2D),则

 

(交换律)

 

                      (P(λ)0)

 

5o

6o 

(位移定理)

7o

(位移定理)

,

按以下方法求得:

P(D)(D的升幂排列),依一般的多项式除法规则去除1,在第k+1步得到的商,当商中得到k次多项式时,除法停止,k次多项式即Qk(D).

    上表中左栏各等式的意义是通常的,而右栏各等式的意义则是等号两边的函数族相同.

    [用算子解法求常系数非齐次线性微分方程的特解]

    1°  方程P(D)x=fk(t),其中fk(t)tk次多项式.

    分两种情形:

    (i)  P(0)0.依上表公式7°

    (ii)  P(0)=0.此时P(D)=Q(D)Dr(整数r1),而Q(0)0.依上表公式2°

    ,则

    2°  方程(当fk(t)为常数时P(λ).

依上表公式6° ,一个特解为

    3°  方程P(D)x=costfk(t)P(D)x=sintfk(t).

    考虑辅助方程

    它与方程2°同类型,设它的一个特解是

那末方程                             

有一特解

x(t)=x1(t)

而方程                         

有一特解

x(t)=x2(t)

    4°  方程P(D2)x= P(D2)x=.

    P()0,则由上表公式4°5°

    P()=0,则有正整数r和多项式Q(Q()0)使

可按方程1° (ii)的方法处理.

    [用算子解法(消去法)求线性微分方程组的解]  消去法是解代数方程组的有效方法之一.引进微分算子之后,同样适用于解线性微分方程组.下面用具体例子来说明这个方法.

    设已给线性微分方程组

应用微分算子,上面方程组可写成

把这个方程组看成两个未知数x1,x2的代数方程组.利用消去法,依次解出x1,x2.

先解(1'),为此先求其对应的齐次方程

的通解.特征根为

λ1=1,λ2=i,λ3=

所以齐次方程的通解为

     (为任意常数)

再用算子解法,求方程(1')的一个特解

由前表公式7°

由前表公式3°

得到方程(1')的特解

最后得出方程(1')的通解

为求出x2 (t)(1)(2)

x1(t)代入即得