五、一阶线性微分方程组

    [一阶线性偏微分方程组的一般形式]  两个自变量的一阶线性方程组的形式是

或

                                  (1)

其中A_ij,B_ij,C_ij,F_i,a_ij,b_ij,f_i是(x,t)的充分光滑函数.

    [特征方程·特征方向·特征曲线]

称为方程组(1)的特征方程.在点(x,t)满足特征方程的方向称为该点的特征方向.如果一条曲线l，它上面的每一点的切线方向都和这点的特征方向一致，那末称曲线l为特征曲线.

    [狭义双曲型方程与椭圆型方程]  如果区域D内的每一点都存在n个不同的实的特征方向，那末称方程组在D内为狭义双曲型的.

    如果区域D内的每一点没有一个实的特征方向，那末称方程组在D内为椭圆型的.

    [狭义双曲型方程组的柯西问题]

    1°  化方程组为标准形式对角型

    因为det(a_ij-_ij)=0有n个不同的实根₁(x,t) _n(x,t)，不妨设

那末常微分方程

的积分曲线l_i  (i=1,2,…,n)就是方程组(1)的特征曲线.

    方程

的非零解(_k⁽¹⁾ _k⁽ⁿ⁾)称为对应于特征方向_k的特征矢量.

    作变换

可将方程组化为标准形式对角型

    所以狭义双曲型方程组可化为对角型，而一般的线性微分方程组(1)如在区域D内通过未知函数的实系数可逆线性变换可化为对角型的话，(此时不一定要求 _i都不相同)，就称这样的微分方程组在D内为双曲型的.

    2°  对角型方程组的柯西问题

    考虑对角型方程组的柯西问题

_i(x)是[a,b]上的连续可微函数.设_ij,_i,_i在区域D内连续可微，在D内可得相应的积分方程组

式中为第i条特征曲线l_i上点(x,t)与点(x_i,0)之间的一段，(x_i,0)为l_i与x轴上[a,b]的交点.上式可以更确切地写为

                                    (i=1,2n)

式中x_i=x_i(x°,t°,t)为过点(x°,t°)的第i条特征曲线，利用逐次逼近法可解此积分方程.为此令

序列{v_i^(k)}(k=0,1,2)一致收敛于积分方程的连续可微解v_i(x,t)  (i=1,2n)，这个v_i(x,t)也就是对角型方程组的柯西问题的解.

    设在区域D内对角型方程组的柯西问题的解存在，那末解与初值有下面的关系：

    (i)    依赖区间：过D中任意点M(x,t)作特征曲线l₁,l_n，交x轴于B,A，称区间[A,B]为M点的依赖区间(图14.1(a))，解在M点的值由区间[A,B]的初值确定而与[A,B]外的初值无关.

    (ii)决定区域：过点A,B分别作特征曲线l_n,l₁,称l_n,l₁ 与区间[A,B]围成的区域D₁为区间[A,B]的决定区域(图14.1(b))，在区域D₁中解的值完全由[A,B]上的初值决定.

    (iii)  影响区域：过点A,B分别作特征曲线l₁,l_n，称l₁,l_n与[A,B]围成的区域D₂为区间[A,B]的影响区域(图14.1(c)).特别当区间[A,B]缩为一点A时，A点的影响区域为D₃(图14.1(d)).在区域D₂中解的值受[A,B]上的初值影响，而在区域D₂外的解的值则不受[A,B]上的初值影响.

图14.1

    [线性双曲型方程组的边值问题]  以下列线性方程组来说明：

                                      (1)

    1°  第一边值问题(广义柯西问题)  设在平面(x,t)上给定曲线段，它处处不与特征方向相切.过A,B分别引最左和最右的特征曲线l₁及l₂.要求函数u(x,t),v(x,t)在，l₁及l₂围成的闭区域上满足方程组，且在上取给定的函数值(图14.2(a)).

    2°  第二边值问题(古沙问题)  设l₁是过P点的第一族特征线，l₂是第二族特征线，在l₁的一段PA上给定v(x,t)的数值，在l₂的一段PB上给定u(x,t)的数值，过A点作第二族特征线，过B点作第一族特征线相交于Q.求在闭区域PAQB上方程组的解(图14.2(b)).

    3°  第三边值问题  设AB为非特征曲线的曲线弧，AC为一特征线弧，且在AB与AC之间不存在过A点的另外特征曲线,过C点作第二族特征线与过B点的第一族特征线交于E点，在AC上给定v(x,t)的数值，在AB上给定u(x,t)的数值，求ACEBA所围成的闭区域D上的方程组的解(图14.2(c)).

                                     图14.2

    [边值问题的近似解特征线法]  以上定解问题，可用逐步逼近法求解，也可用特征线法求解的近似值.以第一边值问题为例说明.

    在曲线AB上取n个分点A₁,A₂, A_n，并记A为A₀，B为A_n+1，过A₀按A₀的第二特征方向作直线与过A₁按A₁的第一特征方向作直线相交于B₀；过A₁按A₁第二特征方向作直线与过A₂按A₂的第一特征方向作直线相交于B₁最后得到B_n(图14.3).用如下的近似公式来确定方程组(1)的解u(x,t),v(x,t)在B_i   (i=0,1,2,…,n)的数值：

于是在一个三角形网格的节点上得到u,v的数值.再经过适当的插值，当n相当大，A_i、A_i+1的距离相当小时，就得到所提问题的足够近似的解.

    [特殊形式的拟线性方程组可化约系统]  一般的拟线性方程组的问题比较复杂，目前研究的结果不多，下面介绍一类特殊形式的拟线性方程组可化约系统.如果方程组

中所有的系数只是u,v的函数，称它为可化约系统.

    考虑满足条件

的方程组的解u=u(x,t),v=v(x,t).x,t可以表示成u,v的函数，且

原方程化为

这是关于自变量u,v的线性方程组.这样就把求拟线性方程组满足的解，化为解线性方程组的问题.而此线性方程组满足条件 的解，在(x,t)平面上的象即为原来拟线性方程组的解.