§4   偏微分方程的数值解法

一、         差分法

    差分法是常用的一种数值解法.它是在微分方程中用差商代替偏导数，得到相应的差分方程，通过解差分方程得到微分方程解的近似值.

    1.  网格与差商

    在平面 (x , y)上的一以S为边界的有界区域D上考虑定解问题.为了用差分法求解，分别作平行于x轴和y轴的直线族.

      (i, j=0,1,2,…,n) 

作成一个正方形网格，这里h为事先指定的正数，称为步长；网格的交点称为节点，简记为(i, j).取一些与边界S接近的网格节点，用它们连成折线，所围成的区域记作.称内的节点为内节点，位于上的节点称为边界节点（图14.7）.下面都在网格上考虑问题：寻求各个节点上解的近似值.在边界节点上取与它最接近的边界点上的边值作为解的近似值，而在内节点上，用以下的差商代替偏导数：

    注意， 1°  式中的差商称为向后差商，而称为向前差商，称为中心差商.也可用向前差商或中心差商代替一阶偏导数.

    2°  x轴与y轴也可分别采用不同的步长h, l，即用直线族

   (i ,j=0, ±1, ±2 )

作一个矩形网格.