2.  椭圆型方程的差分方法

    [五点格式]  考虑拉普拉斯方程的第一边值问题

式中为定义在D的边界S上的已知函数.

    采用正方形网格,记,在节点(i, j)上分别用差商

代替,对应的差分方程为

                                       1

即任一节点(i, j)的值等于周围相邻节点上解的值的算术平均,这种形式的差分方程称为五点格式,在边界节点上取

                               (2)

式中是与节点(i, j)最接近的S上的点.于是得到了以所有内节点上的值为未知量的若干个线性代数方程,由于每一个节点都可列出一个方程,所以未知量的个数与方程的个数都等于节点的总数,于是,可用通常的方法(如高斯消去法)解此线性代数方程组,但当步长不很大时,用高斯消去法将会遇到很大困难,可用下面介绍的其他方法求解.

    h0时,差分方程的解收敛于微分方程的解,则称差分方程为收敛的.

    在计算过程中,由于进行四则运算引起舍入误差,每一步计算的舍入误差都会影响以后的计算结果,如果这种影响所产生的计算偏差可以控制,而不至于随着计算次数的增加而无限增大,则称差分方程是稳定的.

    [迭代法解差分方程]  在五点格式的差分方程中,任意取一组初值{},只要求它们在边界节点(i, j)上取以已知值,然后用逐次逼近法(也称迭代法)解五点格式:

逐次求出{}.(i+1, j)(i1, j)(i, j1)(i, j+1)中有一点是边界节点时,每次迭代时,都要在这一点上取最接近的边界点的值.n→∞时,收敛于差分方程的解,因此n充分大时,{}可作差分方程的近似解,迭代次数越多,近似解越接近差分方程的解.

    [用调节余数法求节点上解的近似值]  以差商代替Δu时,用节点(i+1, j)(i1, j)(i, j+1)(i, j1)u的近似值来表示u在节点(i, j)的值将产生的误差,称此误差为余数,即

14.8

    设在(i, j)上给以改变量,从上式可见将减少4,而其余含有的差分方程中的余数将增加,多次调整的值就可将余数调整到许可的有效数字的范围内,这样可获得各节点上u(x, y)的近似值.这种方法比较简单,特别在对称区域中计算更简捷.

      求Δu=0在内节点A,B,C,D上解的近似值.设在边界节点1,2,3,4上分别取值为1,2,3,4(图14.8

      u(A)=,点A,B,C,D的余数分别为

4+  uB+  uc        +5=

* 4 uB         + uD+7=RB

*         4 uc+ uD+3=RC

             uB+  uc4uD+5=RD

    以边界节点的边值的算术平均值作为初次近似值,即

=uB(0)=uC(0)=uD(0)=2.5

则相应的余数为:

*  =0,  RB=2,  RC= 2,  RD=0

最大余数为±2.先用δuC=0.5RC缩减为零,uC相应地变为2,这时, RD也同时缩减(0.5),新余数是=0.5,RB=2,, RD=0.5.类似地再变更δuB=0.5,从而 uB变为3,则得新余数为.这样便可消去各节点的余数,于是u在各节点的近似值为:

* =2.5,  uB=3,  uC=2,  uD=2.5

    现将各次近似值及余数列表如下:

次数

n次近似值及余数

*

uB

RB

uC

RC

uD

RD

0

1

2

δuC = 0.5

δuB =  0.5

2.5

2.5

2.5

0

0.5

0

2.5

2.5

3

2

     2

0

2.5

2

2

2

0

0

2.5

2.5

2.5

0

0.5

0

结果近似值

2.5

 

3

 

2

 

2.5

 

    [解重调和方程的差分方法]  在矩形D(x0xx0+a,y0yy0+a)中考虑重调和方程

取步长,引直线族

    (i, j = 0, 1, 2 n)

作成一个正方形网格.用差商代替偏导数

 

上式表明了以(x, y)为中心时,u(x, y)的函数值与周围各点函数值的关系,但对于邻近边界节点的点(x, y),如图14.9中的A,就不能直接使用上式,此时将划分网格的直线族延伸,在延伸线上定出与边界距离为h的点,称这些点为外邻边界节点,如图14.9A为中心时,点E,C为边界节点,点J,KE,C的外邻边界节点,用下法补充定义外邻边界节点J处函数的近似值uJ,便可应用上面的公式.

1°  边界条件为

14.9

 

 

 

 

 

 

 

 

时,定义.

2°    边界条件为

时,定义.

    [其他与Δu有关的网格]

    1°  三角网格(图14.10(a)

    P0(x, y)为中心,它的周围6个邻近节点分别为:

                      

式中R表示余项.

    2°  六角网格(图14.10(b)
   
P0(x, y)为中心,它的三个邻近节点分别为

                           .

14.10

    3°  极坐标系中的网格(图14.10(c)

    P0(r,)为中心,它的四个邻近节点分别为

而拉普拉斯方程

的相应的差分方程为