3.  抛物型方程的差分方法

    考虑热传导方程的边值问题

[0,b]分为n等份,每段长为.引两族平行线(图14.11

 

14.11

x=xi=ix      (i=0,1,2n)

y=yj=jt      (j=0,1,2t 取值见后)

作成一个长方形的网格,记u(xi,tj)uij,节点(xi,tj)(i,j),在节点(i,j)上分别用

代替,于是边值问题化为差分方程

,差分方程可写成

                           1

由此可按t增加的方向逐排求解.在第0排上ui0的值由初值(ix)确定,j+1ui,j+1的值可由第j排的三点(i+1,j),(i,j),(i1,j)上的值ui+1,j, uij,ui-1,j确定,而u0,j+1,un,j+1已由边界条件1((j+1)t)2((j+1)t)给定,于是可逐排计算一切节点上的uij.(x), 1(x)2(x)充分光滑,且时,差分方程收敛而且稳定.所以利用差分方程(1)计算时,必须使,即.

    热传导方程还可用差分方程

代替,此时如已知前juij的值,为求第j+1排的ui,j+1 必须解包含n1个未知量的线性代数方程组,这种差分方程称为隐式格式的差分方程,前面所提的差分方程称为显式格式差分方程.

    隐式格式差分方程对任意的λ都是稳定的.