3.  抛物型方程的差分方法

    考虑热传导方程的边值问题

将[0,b]分为n等份，每段长为.引两族平行线（图14.11）

 

图14.11

x=x_i=ix      (i=0,1,2n)

y=y_j=jt      (j=0,1,2t 取值见后)

作成一个长方形的网格，记u(x_i,t_j)为u_ij，节点(x_i,t_j)为(i,j)，在节点(i,j)上分别用

代替，于是边值问题化为差分方程

记，差分方程可写成

                           （1）

由此可按t增加的方向逐排求解.在第0排上u_i0的值由初值(ix)确定，j+1排u_i,j+1的值可由第j排的三点(i+1,j),(i,j),(i－1,j)上的值u_i+1,j, u_ij,u_i-1,j确定，而u_0,j+1,u_n,j+1已由边界条件₁((j+1)t)及₂((j+1)t)给定，于是可逐排计算一切节点上的u_ij值.当(x), ₁(x)和₂(x)充分光滑，且时，差分方程收敛而且稳定.所以利用差分方程（1）计算时，必须使，即.

    热传导方程还可用差分方程

代替，此时如已知前j排u_ij的值，为求第j+1排的u_i,j+1 必须解包含n－1个未知量的线性代数方程组，这种差分方程称为隐式格式的差分方程，前面所提的差分方程称为显式格式差分方程.

    隐式格式差分方程对任意的λ都是稳定的.