二、变分方法

    1.  自共轭边值问题

    将§3定义的共轭微分算子的概念推广到一般方程.

    设D是中的有界区域，S为其边界，在上考虑2k阶线性微分方程

的齐次边值问题

式中f(x)是D内的已知函数，l_ju是线性微分算子.

    将 分部积分k次得

式中(u,v)是一个D上的积分，其被积函数包含u,v的k阶导数；R_j和是定义在边界S上的两个线性微分算子.再将(u,v)分部积分k次得

式中L*是一个2k阶的微分算子，称为L的共轭微分算子.若L=L*，则称L为自共轭微分算子.从上面可推出格林公式

如从l_ju|_S=l_jv|_S=0可推出在边界S上

则称l_ju|_S=0为自共轭边界条件.如果微分算子及边界条件都是自共轭的，则称相应的边值问题为自共轭边值问题，此时有

    每个边值问题对应于某希尔伯特空间H（例如L₂(D)，见第九章§7）中的一个算子A，其定义域M_A 是H中一线性稠密集合，它由足够次连续可微且满足边界条件的函数组成，在M_A上，Au的数值与Lu的数值相同，从而求解边值问题化为解算子方程

的问题.

    设A为定义在实的希尔伯特空间H中的某线性稠密集合M_A上的线性算子.若对于M_A的任意非零元素成立

(Au,v)=(u,Av)

则称A为对称算子.若对任意非零元素u成立

则称A为正算子.如成立更强的不等式

(Au,u)≥r||u||²      (r>0)

则称A为正定算子.此处(u,v)表示希尔伯特空间的内积，||u||²=(u,u).