2. 变分原理与广义解

定理 设A是正定算子，u是方程Au=f在M_A上的解的充分必要条件是： u使泛函

F(u)=(Au,u)－2(f,u)

取极小值.

上述将边值问题化为等价的求泛函极值问题的方法称为能量法.在算子的定义域不够大时，泛函F(u)的极值问题可能无解.不过对于正定算子，可以开拓集合M_A，使在开拓了的集合上，泛函的极值问题有解.为开拓M_A，在M_A上引进新的内积[u,v]=(Au,v)，定义模||u||²=[u,u]=(Au,u)，在模||u||的意义下，补充极限元素，得到一个新的完备希尔伯特空间H₀，在H₀上，泛函F(u)仍然有意义，而泛函的极值问题有解.但必须注意，此时使泛函F(u)取极小的元素u₀不一定属于M_A，因此它不一定在原来的意义下满足方程Au=f及边界条件.称u₀为广义解.