4.  里兹方法在特征值问题上的应用

    算子方程

Au－u=0

的非零解称为算子A的特征值，对应的非零解u称为所对应的特征函数.

    对线性算子A，若存在常数K，使对任何M_A的元素成立

(A,)≥K||||²

则称A为下有界算子，正定算子是下有界的（此时K=0）.记(A,)/||||²的下确界为d.

    定理1  设A为下有界对称算子，若存在不为零的元素₀M_A，使

则d就是A的最小特征值，₀为对应的特征函数.

    于是求下有界对称算子的最小特征值问题化为变分问题，即在希尔伯特空间中求使泛函(A,)/||||²取极小的元素，或在||||=1的条件下求使泛函(A,)取极小的元素.

    定理2  设A是下有界对称算子，₁≤₂≤…≤_n是它的前n个特征值，₁,₂,…,_n是对应的标准正交特征函数，如果存在不为零的元素，在附加条件

(,)=1, (,₁)=0,  (,₂)=0,  …,  (,_n)=0

下使泛函(A,)取极小，则_n+1是算子A的特征函数，对应的特征值

就是除₁ ，_n外的最小的一个特征值.

    于是求第n+1个特征值就化为变分问题，即在附加条件

(,)=1, (,₁)=0,  (,₂)=0,  (,_n)=0

下求使泛函(A,)取极小的元素.

    为了利用里兹方法求特征值，在M_A中选取一列在H₀中完备的坐标元素序列{_i},  (i=1,2)， 令，确定a_k，使在条件 (u_n,u_n)=1下，(Au_n,u_n)取极小，这个问题化为求n个变元a₁,a₂,…,a_n的函数

在条件

下的极值问题，一般可用拉格朗日乘数法解（见第九章§3，t），此时

的最小的根即为特征值的近似值，如果将上式的根按大小排列，就依次得后面的特征值的近似值，但精确度较差.

    对一般算子方程

Au－Bu=0

如果A为下有界对称算子，B为正定算子，则

的根就是特征值的近似值.