第十五章  积分方程

积分方程论是泛函分析的一个重要分支，它是研究数学其他学科（例如偏微分方程边值问题）和各种物理问题的一个重要数学工具。本章叙述线性积分方程，重点介绍弗雷德霍姆积分方程的性质和解法；并简略地介绍了沃尔泰拉积分方程以及一些奇异积分方程；此外，还扼要地叙述积分方程的逐次逼近法和预解核，并举例说明近似解法；最后考察了一个非线性积分方程。

                                  §1     积分方程一般概念与弗雷德霍姆方程

一. 积分方程一般概念

1. 积分方程的定义与分类

[线形积分方程]  在积分号下包含未知函数y(x)的方程

                                 (1)

称为积分方程。式中α(x),F(x)和K(x,ξ)是已知函数，λ,a,b是常数，变量x和ξ可取区间(a,b)内的一切值；K(x,ξ)称为积分方程的核，F(x)称为自由项，λ称为方程的参数。如果K(x,ξ)关于x,ξ是对称函数，就称方程(1)是具有对称核的积分方程；如果方程中的未知函数是一次的，就称为线性积分方程，方程(1)就是线性积分方程的一般形式；如果F(x)≡0 ，就称方程(1)为齐次积分方程，否则称为非齐次积分方程。

[一维弗雷德霍姆积分方程（Fr方程）]

第一类Fr方程

第二类Fr方程

第三类Fr方程

[n维弗雷德霍姆积分方程] 

称为n维弗雷德霍姆积分方程，式中D是n维空间中的区域，P,P₁ÎD，它们的坐标分别是(x₁,x₂,L,x_n)和,a(P)=a(x₁,x₂,L,x_n),F(P)=F(x₁,x₂,Lx_n)和K(P,P₁)=K(x₁,x₂,L,x_n, 是已知函数，f(P)是未知函数。

关于Fr方程的解法，一维和n(>1)维的情况完全类似，因此在以后的讨论中仅着重考虑一维Fr方程。

[沃尔泰拉积分方程]  如果积分上限b改成变动上限，上面三类Fr方程分别称为第一、第二、第三类沃尔泰拉积分方程。

由于第三类Fr方程当a(x)在(a,b)内是正函数时，可以化成                                                                                        

它是含有未知函数以为积分方程的核的第二类Fr方程。所以本章重点研究一维第二类Fr方程。