2. 积分方程与微分方程之间的关系
某些积分方程可化为微分方程,也可从微分方程推导出积分方程。先来考虑二阶线性微分方程的初值问题:
(2)
若从方程(2)中解出,然后在区间(a,x)上对x求积分两次,利用初始条件,经过简单的计算不难得出*,
令
和
上式就可写为如下的形式:
(3)
这是一个第二类沃尔泰拉方程,核K是x的线性函数。
例1 初值问题
(4)
变为积分方程
(5)
反之,应用积分号下求导法则,微分两次就可把积分方程(3)化为微分方程(2)。在(3)及其第一次求导的结果中令x=a,就得给定初始条件。在例1中,对(5)式求导,得出
(6)
再求导一次得出原微分方程(4),并从方程(6)和(5)给出初始条件
y(0)=1,
对于边值问题,方法类似,先考虑一个简单的例子。
例2 从问题
出发,积分两次,导出关系式
从此立刻可知条件y(0)=0成立。从第二端点条件y(a)=0决定C:
所以有关系式
(7)
令
则方程(7)变为
(8)
这是第二类Fr方程。要从这个积分方程回到微分方程,只需对方程(8)求导两次,就得到
在积分方程(7)中,令x=0和x=a,可以直接推出边值条件y(0)=y(a)=0。
注意:在这个例中,
1° 在x=ξ处不连续,并当x增加而过ξ时有一跳跃-1。
2° K是x的一个线性函数,即满足,且K 在端点x=0,x=a处等于零。
3° K(x,ξ)=K(ξ,x),即核是对称的。
如果利用类似的方法,对更一般的具有齐次端点条件的二阶齐次方程的边值问题:
则除A=0外,可得在x=ξ不连续的一个核。