六、弗雷德霍姆的理论

[Fr方母]  预解核R(x,ξ;λ)可以用关于λ的两个幂级数之比来表达，这两个级数对一切λ值都是收敛的。

若预解核表成

                                              (1)

式中

                      (2)

                                             (3)

Δ(λ)称为Fr分母，它与变量x,ξ无关。式中系数c_n与函数D_n(x,ξ)可由下列递推公式逐次算出：

  

     

               LLL

        

那末方程

的解可将（1）代入上段（7）式中得到，其形式为

                                                          （4）

当K(x,x )是可分离时，这个结果与本节三中所得到的解一致，这时级数(2)与(3)都只包含有限项。

更一般地，若级数(2)与(3)之比用关于l的幂级数(由除法或其他方法)来表达，结果将化为上段的(6)式的级数形式，而它只对充分小的l 值收敛;但是(4)中最后一项的分子和分母的级数展开式对l的一切值都收敛。

分母D(l )只当l取一特征值时等于零，在这个情形下，Fr方程或者无解或者有无穷多个解，并且(4)不再成立。

[D(l)的零点与Fr方程]  应用存在性与唯一性定理，有以下结论：

1°  若l不是D(l )的零点，则对任意的F(x),(4)式是Fr方程的唯一解。

2°  函数D(l )的一切零点都是预解核的极点。

3°  若l_c是D(l )的零点，则齐次方程

有非零解。

于是D(l )的一切零点都是上面积分方程的特征值，就是说，这时齐次方程

                                               (5)

有非零解。若l 不是D(l )的零点，则由1^o，非齐次Fr方程对任意的F(x)有唯一解，特别，这时上面齐次方程只有零解，即

若l是D(l )的零点，则它是特征值，若l不是D(l )的零点，则它不是特征值，于是得到

4°  积分方程的特征值都是D(l )的零点。

5°  在l 平面的任何有限区域内只有有限个特征值。

[转置积分方程]  形如

                                    (6)

的方程叫做Fr方程

的转置积分方程，它的相应的齐次方程为

                                                (7)

这个方程的核记作

K₀(x,x )=K(x, x)

转置积分方程具有以下性质：

1°  齐次方程(5)与它的转置方程(7)或同时仅有零解，或同时有非零解。

2°  齐次方程(5)与它的转置方程(7)有相同个数的线性无关的解。

3°  若l是特征值，则非齐次Fr方程可解的充分必要条件是：自由项F(x)满足条件

式中是转置方程的任何特征函数，即齐次方程(7)的任何解。若这个条件满足，则Fr方程有无穷多个解，而一切这样的解取形式

式中y₀(x)为Fr方程的任意特解，为方程(5)的r个非平凡的线性无关的解，c₁,c₂,L,c_r为任意常数。

    应当指出，上式结果与n个变量的n个线性代数方程组的关于解的存在和唯一性的对应结果完全类似。