§2  奇异积分方程

一、奇异积分方程的定义与例子

1°  如果积分方程的积分是积分区间为无限(或核K(x,ξ)为无界函数)的广义积分,那末称该方程为奇异积分方程,例如

                                                    (1)
                                                            (2)

                                                  (3)

都是奇异积分方程。

     方程(1)的右边所定义的函数可以看作y(x)的傅立叶正弦变换。若当x>0时,F(x)逐段可微且存在,则方程(1)有唯一的反演公式:

  x>0

       考虑齐次积分方程          

                                                          (4)      

       从已知的公式

    (x>0,α>0)

可知确实是特征值。当时,对任意正常数α,函数

    (x>0)

满足方程(4);而当时,对任意正常数α,函数

    (x>0)

也满足方程(4)。于是这两个λ值是无穷重的特征值,即每个值对应无穷多个特征函数。这个事实与Fr方程的任一特征值只对应有限个独立特征函数是大不相同的。

     由方程(2)右边所定义的函数Fx)是函数yx)的拉普拉斯变换。因为不是一切函数都能作拉普拉斯变换,两个不同函数不能有同一个拉普拉斯变换。所以对一个给定函数F(x),若(2)存在一个解,则解是唯一的。

考虑齐次积分方程

      x>0                     5

根据伽马函数的定义有

     

代替a,得

  

由上面两等式推出

                                                                   

如果令

        

那末上式表明,函数

    x>0

是积分方程(5)的解。

因此,对参数a的任一值,有一个λ值对应,并且决定了方程(5)的一个非平凡解。

利用恒等式

            

            

由此推出,在区间内的一切λ值都是奇异积分方程(5)的特征值。

    还能证明在区间内的一切λ值也是奇异积分方程(5)的特征值。

   积分方程(3)的积分区间是有限的,但是核是无界函数,这种奇异积分方程将在本节二和§3中考虑。