二、随机变量与分布函数

[随机变量及其概率分布函数]  每次试验的结果可以用一个变量的数值来表示,这个变量的取值随偶然因素而变化,但又遵从一定的概率分布规律,这种变量称为随机变量,用,···表示。它是随机现象的数量比。

    给定随机变量,它的取值不超过实数x的事件的概率P(x)x的函数,称为的概率分布函数,简称分布函数,记作F(x) ,即

                 F(x)=P(  (

[分布函数的基本性质]

      1°  ,

      2°   x1<x2,则F(x1)F(x2)  (单调性)

      3°  F(x+0)=F(x)            (右连续性)

      4°  P(a<=F(b)(a)

      5°  P(=F(a)0)

[离散分布与概率分布列]  如果随机变量只能取有限个或可列个数值x1 , x2 ,···, xn ···,就称为离散型随机变量。若记P()=pk    (k=1,2,···),则取值的概率分布由{pk}完全确定。称{pk}的概率分布列。{pk}有以下性质:

   1°  

   2°  =1

   3° D为实数轴上任一可测集,则P(

   4° 的分布函数

                 F(x)=

是在处有跳跃的阶梯函数。

[连续分布与分布密度函数]  如果随机变量的分布函数F(x)能够表示为

                F(x)=  p (x)非负)

就称是连续型随机变量。p(x)称为的分布密度函数(或分布密度)。分布密度函数具有以下性质:

   1°  p(x)=

   2° 

   3°  p (x)是连续型随机变量的分布密度,则对实数轴上的任一可测集D,有

                                           

[随机变量的函数的分布]  如果随机变量是随机变量的函数

                        

设随机变量的分布函数为F(x),则的分布函数G(x)

                     G(x)=

特别,当是离散型随机变量时,其可能值为x1 , x2···,P,则

                     G(x)=   

是连续型随机变量时 ,其分布密度为p(x),则

                     G(x)=  

[随机矢量的联合分布函数与边缘分布函数]  如果···,联系于同一组条件下的n个随机变量,则称···,)n维随机变量或随机矢量。

    (x1 , x2 ,···xn)n维实数空间Rn上的一点,则事件"···,"的概率

          

作为x1 , x2 ,···, xn的函数,称为随机矢量···,的联合分布函数。

    (···,(···,中任意取出m(mn)个分量构成的m维随机变量,则称(···,的联合分布函数为(···,m维边缘分布函数。

    这时,如果分别记(···,(···,的分布函数为F(x1,x2,···,xn),那末

            =F(···,x,···, ,···,x,···,)

[条件分布函数与独立性]  是一随机变量,事件B满足P(B)>0,则称

                       F(x|B)=P (x|B)

在事件B已发生的条件下的条件分布函数。

   1° (,是二维离散型随机变量,的可能取值分别为xi (i=1,2,···)yk (k=1,2,···).又记(,的联合分布为

                            P(= pik

两个一维边缘分布为

                        P(=·=   (i=1,2,···)

                        P(==   

则称

                        P(|)=  

为在条件下离散型随机变量的条件分布。类似的,称

                        P(|)=  (>0, k=1,2,···)

为在条件下离散型随机变量的条件分布。

2°  ()是二维连续型随机变量,其联合分布密度是f(x,y),在点y ,则称

                 

=y条件下的条件分布函数,在点x则称

                       

条件下的条件分布函数。

3°  如果(···,的联合分布函数等于所有一维边缘分布函数的乘积,即

                  F(x1 , x2 ,···, xn)=

(它相当于P(,···,xn)=那末称,···,是相互独立的。