三、平稳随机过程

[弱平稳过程]  如果随机过程{x (t),tÎT}满足

             

就称它是弱平稳过程(或广义的平稳过程)。

广义的平稳过程不一定是狭义的平稳过程；反过来，狭义的平稳过程也不一定是广义的平稳过程，但是如果狭义平稳过程的二阶矩存在，那末它必是广义的平稳过程。

对于正态过程来说，广义平稳性和狭义平稳性是一致的。

在理论研究中，考虑复值随机过程常常更加方便。所谓复值随机变量x是指x =η+ix ,其中η, x 都是随机变量；而复值随机过程就是x (t)=η(t)+ ix (t),其中η(t), x (t)都是实值随机过程。

复值随机变量x =η+ix 的均值(或数学期望)定义为

两个复值随机变量x ₁，x ₂的相关矩定义为

复值随机过程{x (t),tÎT}的广义平稳性，是指它满足

                 

下面考虑的都是复值的广义平稳过程。

[相关函数的谱分解]  如果函数R(τ)是某一均方连续平稳过程{x (t), <t<}的相关函数，那末

                     

其中F(λ)是有界不减函数，满足,称为平稳过程{x (t),<t<}的谱函数(工程上称为频谱)。

如果F(λ)绝对连续，记，称为谱密度(工程上称为频谱密度)，这时

                       

当{x (t), <t<}是实值平稳过程时，相关函数R(τ)可以表示成

                   

或(当谱密度存在时)

                       

其中F₁(λ)=2F(λ)+c(c为常数)，。

特别，对复值平稳序列{x _n, n=0,±1,L}有

                     (k=0,±1,L)

其中谱函数F(λ)满足

                     F()=0,     F(p)=R(0)

[遍历性定理]

1^°  如果{x (t),-∞<t<∞}是均方连续的平稳过程，那末

                   

的充分必要条件是：

                       

2^°  如果{x _n, n=0,±1,L}是平稳序列，那末

                      

的充分必要条件是：

                           

3^°  如果{x (t),-∞<t<∞}是均值为零的均方连续的平稳过程，又对取定的常数  t >0,也是均方连续的平稳过程，记其相关函数为R_t (u),那末

             

的充分必要条件是：

                            

4^°  如果{ n=0,±1,L}是均值为零的平稳序列，又对取定的整数m, n=0,±1,L}也是平稳序列，记其相关函数为R_m(k),那末

                       

的充分必要条件是：

                             

遍历性定理表明，对于平稳过程，只要它满足定理的条件(在实际中它们是常常能够满足的)，那末对样本空间的平均(如均值、相关矩等)可以用对时间的平均来代替，更具体地说，只要用平稳过程在足够长时间的一次实现，就可以确定过程的均值和相关函数。这正是遍历性定理在实用上重要的原因。

[平稳过程的谱展式]  如果{x (t),-∞<t<∞}是均值为零的均方连续平稳过程，那末有

                       

其中                   

满足  （i）EZ(l)=0

      （ii）当区间与不相重叠时

              

(即Z(l )是具正交增量的过程)

      （iii）    (F(l )是谱函数)

Z(l )称为x (t)的随机谱函数，x (t)的积分表示式称为x (t)的谱展式。

特别，如果x (t)是实值均方连续平稳过程，那末有

              

其中              

                 

满足 （i）EZ₁(l )=EZ₂(l )=0,

     （ii）当区间与不相重叠时

          (j,k=1,2)

     （iii）

(F(l )是谱函数)

如果{x _n, n=0,±1,L}是均值为零的平稳序列，那末有

                          

其中随机谱函数Z(l )是

               （-p ≤λ≤p）

它也满足类似于均方连续平稳过程的随机谱函数的性质（i）~(iii)。