二、等距节点插值公式(差分公式)
[向前差分与向后差分] 已知函数f(x)在等距节点
的值为
其差分按下式计算
一阶差分
二阶差分
…………………………
k阶差分
符号称为向前差分。此外还可引进符号,它们的定义是
符号称为向后差分。
向前差分和向后差分之间的关系为
[差分表]
x |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B
|
[牛顿第一插值公式(牛顿向前插值公式)]
节 点 为步长)
插 值 点 (0<u<1)
插值公式
余 项
式中为二项系数。
适用范围 通常用于计算插值区间的始点附近的函数值。
[牛顿第二插值公式(牛顿向后插值公式)]
节 点 (h>0)
插 值 点
插值公式
余 项
式中
用向后差分时
适用范围 通常用于计算插值区间的终点附近的函数值。
[斯特林插值公式]
节 点
插 值 点
插值公式
余 项
适用范围 通常用于计算插值区间中点附近的函数值。一般当
时用这个公式。
注意事项 每次用的节点的个数都是奇数。
[贝塞尔插值公式]
节 点
插 值 点
插值公式
余 项
适用范围 通常用于计算两相邻节点之间的中点附近的函数值。这个公式一般在时使用。
注意事项 每次用的节点的个数都是偶数。
当时,插值公式特别简单:
说明 应用差分法插值时,并非项数愈多结果就愈精确,一般取二、三次就可以了。不难看出,线性插值法只是差分法的一个特例(取一阶差分)。