§2多变量函数极值问题解法(直接法)
本节讨论求目标函数
在定义区域
上的最优解的直接方法(或试验最优化方法)，其中
(
表示矢量的转置)
表示自变量
组成的列矢量，由于极小和极大只是目标函数相差一符号，因此这里只讨论求
维列矢量
使得
这时，
称为最优解(最优点)。
[单峰函数] 如果函数
在所讨论的区域
上只有一个极值点(最大点或最小点)，那末称这个函数为多变量单峰函数。
多变量单峰函数也可用分析定义。例如，设函数
定义在区域
上，由于区域
上的任一路线都可用一参数方程
表示，所以函数
沿这条路线也可用参数
表示为
设
又设
如果
,当
,当
那末称函数
在区域
上从点
和点
的路线上是单峰的，式中
设
如果对区域
上的任一对点
和
，都存在一条从
经过
到
的路线，在其上函数
是单峰的，那末称函数
在区域
上为单峰的.
[因素交替法] 这个方法是轮流按坐标轴方向探索最优点.设
为第i个坐标轴的单位矢量，即
并且预先给定允许误差
那末，迭代程序如下：
(1) 选取初始点
.
(2) 由初始点
出发，先沿第一个坐标轴方向进行优选(用§1的单因素方法)，得到好点
，即
式中
为实参数.然后以
为起点沿第二个坐标轴方向进行优选，得到好点
，即
如此等等，一直到
个方向全部优选完毕，得到
，它满足
(3) 再以
为新的初始点，重复步骤(2)。
(4) 以上步骤一直进行到从某一初始点出发，经过
个方向搜索后得不到新点，或与前
个初始点之间的距离都小于预先给定的允许误差
为止。这时
即为最优点
的近似解。
[平行线法] 如果处理的双因素问题中，有一个因素难于调整，而另一个因素却容易变动，这时用双因素交替法就不太方便，应改用下面的平行线法：
把难于调整的因素
放在纵轴上(图18.5)，设其可调范围为[0,
]，把容易变动的因素
放在横轴上，设其可调范围为[0，
].先把因素
固定在点
处，在过这点而平行于横轴的直线
上对因素
在[0，
]上优选，好点为①；再把
固定在点
处，在过这点而平行于横轴的直线
上对因素
在[0，
]上优选，好点为②；比较①与②两点的好坏，如果②比①好，就去掉直线
的上半部(如果①比②好，就去掉直线
的下半部)，然后把因素
固定在可调范围的
处，在过这点而平行于横轴的直线
上对因素
在[0，
]上优选，好点为③；比较②与③两点的好坏，如果②比③好，就去掉直线
的下半部
如此继续做下去把优选范围不断缩小，就可以找到最优点的近似解。
对因素
的选择也可采用分数法。
[瞎子爬山法] 迭代过程如下：
(1)
选取初始点(基点)
的步长
，命
。
(2)
进行第k阶段的第l次方向(即
轴方向)的局部探索
其中
为第l个坐标轴的单位矢量，首先沿正方向探索
如果
，则探索成功，就把这点作为下一次沿第l+1个坐标轴方向探索的起点，并命
；否则就沿反方向搜索
如果
，则探索成功，就把这点作为下一次沿第l+1个坐标轴方向探索的起点，并命
；如果正反方向探索都失败就退回原处，即命
并命
。
当沿各个坐标轴方向的局部探索都轮流进行后，这个阶段的局部探索也就完成了，这时得到第k阶段的最好点
。
(3)
命
，以
为新基点，重复步骤(2),如果不能得到更好的点，就缩小步长再进行局部探索，直到步长缩小到规定的精度为止，这时所得最好点即为最优点
的近似解。
瞎子爬山法(也称探索爬山法)虽然没有前面几个方法快，但它特别适用于因素不能大幅度调动，或是在大生产中如果出一次废品就造成很大损失的情况。
[陡度法与对角线法]
1° 陡度和陡度法 设在
,
两点已经做试验，其目标函数值分别为
(图18.6)，而且
，那末
称为从
上升到
的陡度.对
维空间有类似的定义。
陡度大的方向目标函数显然上升得快一些.所谓陡度法，就是利用已得的试验结果，算出各点间的陡度，然后沿陡度最大的方向(有利方向)再取点做试验。
2° 联合法(瞎子爬山法与陡度法联合使用)
例如用瞎子爬山法从
点出发，沿
轴方向调动因素
得到点
,效果较好，仍沿
轴方向调动因
素
得到点
(图18.7)，效果还是好的，然后沿
轴方向
调动因素
得到点
，效果也好，接下去就不一定从
出
发再沿纵横方向去探索了。这时可以分别算出目标函数由
上升到
的陡度，由
上升到
的陡度，由
上升到
的陡度，从中选出一个陡度最大的方向，例如
，那末
下一次就可以沿
的方向往上爬了，这时可以从
点出
发沿线段
的延长线
用瞎子爬山法往上爬，也可以在
上应用单因素的方法优选，一般总可以找出一个比
好的点.
3° 对角线法 以上我们通过比较，从通过
点的三个方向
的陡度挑出一个较陡的方向来，例如是
,但
并
不一定过
点的最陡方向，其实只要利用过
点的二个方向的陡
度就可以找出过
点的更陡的方向来。
如图18.8,在过
垂直于
的方向上取一点
，使
的长等于
到
的陡度，且
和
分别在
的两侧；再在
过
垂直于
的方向上取一点
，使
的长等于
到
的陡度，且
和
分别在
的两侧，以
，
为边
作平行四边形，其对角线
的方向就是在
点的陡度最大
的方向。
[步长加速法] 步长加速法实际上是瞎子爬山法和沿有利方向加速相结合的方法.其迭代程序如下：
(1)
选取初始点(基点)
和步长
，命
。
(2) 瞎子爬山(程序见瞎子爬山法)。
当沿各个坐标轴方向的局部探索都轮流进行后，这个阶段的局部探索也就完成了，下一步就可沿有利方向进行加速。
(3)
加速爬山。命
。若
，那末移到新的位置
进行加速试探，
在此
有两种情形可能产生：
1°
如果
的数值有改进，那末命
,应用步骤(2)的方法开始新的探索。
2°
如果
的数值没有改进，那末取消这个加速，将基点放在上次发现的最好点，即
。命
，象步骤(2)一样开始一个新的局部探索。
如果经过一个阶段后发现
不能加速移动，那末就缩小步长重复步骤(2)。如果逐次缩小步长都不能加速移动，这点便是最优点的近似解。
 |
步长加速法在二维的情形如图18。9所示。
[方向加速法(共轭方向法)] 迭代程序如下：
(1)
从前面的最好数值位置
(可以是前一次迭代最后所确定的点或用其他方法所得的好点)和一组线性独立的探索方向
(可以取坐标轴的方向)出发。首先寻找过点
平行于
的直线上的最好点设为
，再找过点
平行于
的直线上的最好点设为
，继续这个过程直到所有n个探索方向都已试探过，最后所得点为
。
(2)
寻找特殊点
，这个点使目标函数的数值同前一点相比改进最大，即点
给出
个移动的最大改变量
，其中
。此外决定矢量
。
(3)
计算
(4)
记
如果
(1)
或
(2)
那末
不是探索中的好方向，则应重新开始探索，从最后一点出发并用同样的方法，即
和
，重复步骤(1)。如果不等式(1),(2)都不满足，那末沿方向
探索直到找到极小点。将这个点定义为
，而k+1阶段的新探索方向为
;
;又
。然后从步骤(1)出发重复整个过程，直到
,其中
为预先给定的允许误差。
例 应用方向加速法找出目标函数
的极小点。
解 应用导数的方法容易求出目标函数的绝对极小点为
。下面用方向加速法来求出这个极小点。
从点
开始探索，探索方向用
和
。
第一阶段 从基点出发，沿方向
进行一维探索，移动距离由使
到达极小，得到
，因此
，而目标函数值由
减少到
。再沿方向
用同样的方法探索，得到
，同时
。
为决定下一阶段是否用方向
，应检验不等式(1)，计算点
,而
,由于
，所以下一阶段不用方向
。
第二阶段 本阶段的方向和前一阶段的一样(因为
不采用)。相继探索得到
，而
又
，而
。再计算点
。在此
，由于
，不等式(1)不满足。再检验不等式(2)，计算
式中
是目标函数在给定方向的最大改变量，即
。不等式(2)的右端是
因此不等式(2)不满足，即下一阶段可以采用方向
，沿方向
探索得到第三阶段的基点为
，并且
。
第三阶段 本阶段的探索方向为
和
。沿这两个方向探索将发现不能再前进，因为事实上前一阶段已经找到绝对极小点。当然，这是不足为奇的，因为目标函数是二次的。
[方向步长双加速法] 迭代程序如下：
考虑第k阶段
(1)
选择一初始点(基点)
，一组步长
和一组方向
，其中
，上指标
表示第
个阶段，下指标
表示第
个方向。当
时，一般选择探索方向平行于坐标轴方向。
(2)
依次平行于n个方向的每一个进行相继探索，若移动是成功的，则采用新点，若移动不成功则保留基点。若在一给定方向的移动是成功的，则下一次再在这个方向上探索时，步长将增大为
倍
；若失败，则缩小为
倍
，负号表示在反方向探索。一般取
。
(3)
直到在每一个方向上都至少有一次成功，一次失败，这时沿该方向的探索就告结束。依次沿平行于n个方向的探索完毕后最后一次成功的点为新的基点
。下一阶段(即第
阶段)的探索方向
，由下列方程计算得到：
首先定义矢量
其中
是在
方向的所有成功移动的代数和，
然后方向
由下式给出
其中
特别，其中主要方向
它的各个分量为
(4)
以上步骤一直进行到
(
为预先给定的允许误差)为止，所得最后的基点
就近似于最优点。
 |
方向步长双加速法在二维的情况如图18.10所示。
[单纯形调优法] 迭代程序如下：
(1)
命n维空间的单纯形的n+1个顶点为
，计算函数值
，比较大小，并确定
(2)
求出最坏点
的对称点
式中
(3)
若
，则将
缩小为
，
由下式定义：
这里要求
，是避免
的情形发生。
如果
，那末
，并重复以上步骤。
如果
，那末
，并重新开始迭代。
(4)
若
，则将
扩大为
，
由下式定义：
扩大的条件
也可以换成
或 
如果上述条件满足，并且
那末
否则
并重复以上步骤。
上述过程一直继续到
或
为止，其中
是预先给定的正数。
