附录   有限元法中的数值积分

在单元分析中需要计算大量数值积分,这些积分常常通过坐标变换把被积函数(包括对整体直角坐标的微分算子矩阵B)全部化为局部坐标的函数,并且其中大部分是关于局部坐标的多项式。对于方块剖分,它可化为坐标变量xhz的幂函数的积分,对于三角剖分,它可化为自然坐标的幂函数的积分,它们都不难求积。下面列出有关公式。对于被积函数不是多项式的积分,则需用高斯型求积公式求其近似值。关于局部坐标(xhz)的函数的数值积分可参看第六章,这里仅列出关于自然坐标的函数的高斯型数值积分表。

[线段单元]

     含距离坐标的积分公式

由于,结合上式,可得出包含的积分公式。

     常用的数值积分表

求积节点个数m

求积节点坐标         

求积系数

代数精确度*n

1

1

1

2

(α,1),(1,α)

其中α=0.2113248654

3

3

  

3

3

(α,1),(1,α)

其中α=0.1127016654

5

[三边形单元]

      含面积坐标的积分公式

式中A为单元的面积。从系数矩阵的积分公式(2)看出,被积函数不仅包含面积坐标为变量的型函数,而且也有关于x,y的微分算子B.根据矩阵坐标变换

                                  

再结合上式可得出包含的积分公式。

注意,如三边形单元任意一边(例如)作为线元,则上述含距离坐标的积分公式也成立。

       常用的数值积分表

求积节点个数m

求积节点坐标 

求积系数

代数精确度n

1

1

1

3

2

7

3

7

其中

其中

0.13239415

0.12593918

0.225

5

[四面体单元]

       含体积坐标的积分公式

                         

式中V为单元的体积。公式(2)出现,即被积函数包含型函数关于x,y,z的导数,根据坐标变换

                                                    (i=1,2,3)

再结合上式,可得出包含这些偏导数的积分公式

     常用的数值积分表

求积节点个数m

求积节点坐标         

求积系数

代数精确度n

1

1

1

4

其中

2

5

3



* 表示该求积公式对某n次齐次多项式是精确的