二、  变换­­­·集的一般表示法·标号集

    [有序对] 假定x和y都是事物,那末

<x,y> = {{x,1},{y,2}}

称为由x和y结成的有序对,x和y分别称为<x,y>的第一坐标和第二坐标.

    有序对是针对无序对说的.可以看到<x',y'>=<x,y>的充分必要条件是:x'=x且y'=y,而无序对跟元素先后次序无关.

    [替换公理] 假定X是一个集,如果对每个xX作为第一坐标,都有一个且只有一个y与x结成有序对<x,y>,那末所有这种有序对的第二坐标y的全体是一个集Y.

    把每个<x,y>看作有序对<x,<x,y>>的第二坐标,再一次应用替换公理,就可看到所有这种有序对<x,y>的全体也是一个集.

    [变换(映射)·象源(原象)·象] 假定X是一个集,如果对每个xX作为第一坐标,都有一个且只有一个y和x结成有序对<x,y>,其第二坐标y的全体记作Y(是一个集),那末所有这种有序对<x,y>的全体是一个集f,这时称f为把X变到Y上的变换(映射),简称f是变上的(映上的),X称为在变换f下Y的象源(原象),Y称为在变换f下X的象,记作Y=f(X).

    一般,假定<x,y>f,那末记作

y = f(x)

x称为在变换f下y的象源,y称为在变换f下x的象.

    [一对一变换与逆变换] 由定义,一个变换的每个象源都只有一个象(单值性),但是一个象不一定只有一个象源.如果特别每个象也都只有一个象源,那末称f是一对一的变换.在一个一对一变换f下,可以得到一个把Y变上X的变换,称为f的逆变换.如果f(x) = y,那末(y) = x.

    [集的一般表示法与标号集] 假定有一个一对一的变换把一个集H变上X,那末X是一个集,如果把每个象源h(H)的象记作x_h(X),把X记作

X ={ x_h |hH}                                (1)

那末H称为X的标号集,每个h称为x_h 的标号.

    反过来,一个集总有标号集的.因为至少它自己就可以看作自己的标号集.因此(1)式这种表示法是普遍适用的.以后应用这种记号的时候不一定再说明H是标号集,只要规定这种记号里写在H位置上的必定是标号集.