四、    选择公理与排队定理

    [选择公理与选择变换]  假定{A_h|hH}是一个集族，这里每个集A_h≠φ，那末存在一个定义在这集族里的变换f:对所有hH，

f（A_h）= x_h A_h

变换f称为选择变换.

    [排队公理]  一个集一定可以依一个次序排队.

    注意，1^o  一个不空的排队集可以保持次序地变上一个序数，这序数和这变换都由这排队集唯一决定，这序数称为这个排队集的序数.

    2^o  一个集A可以依不同的次序成不同的排队集，而且这种不同的排队集的序数也不同，例如，如果依照把有限序数全体只当作一个集，不依照原来的次序，而规定每一个偶数都比任何一个奇数小，而偶数和偶数或者奇数和奇数之间依照原来的次序，那末得到的排队集是

{0，2，4，×××，1，3，5，×××}

如果把它保持次序地变上一个序数的话，这个序数只能是

{0，1，2，×××,ω+1,ω+2,ω+3,×××}

也就是ω+ω=ω2，而不是原来的序数ω.

    3^o  由选择公理（还有其他公理）推出排队定理；反过来由排队定理也可以推出选择公理.所以也可把排队定理当公理，而把选择公理当定理.

    [仓恩定理]  假定一个分行集A的任何一个单行子集都有上界（就是A的一个大于或者等于这个单行子集的每个元素的元素），那末A一定包含一个极大元素（就是没有任何别的元素大于它）.

    定理  假设集论公理系统ZFC中除选择公理外，别的公理都成立，那末选择公理、排队定理、仓恩定理中任何一个和任何另外一个都是等价的.