七、    基数算术

    [公式]  假定AB是集,ABφ,那末规定

card(A)+card(B)=card(ΑB)

card(A)card(B)=card(AB)

card(B)card(Α)=card(AB)

    基数的加法和乘法都是可以交换的.

    定理

                          

    推论

        n为正整数)

 

 

    [几个特殊数集*的基数计算]

  所有整数全体的基数等于.这是因为

card(所有整数全体)=card(所有正整数全体)

+card(所有负整数全体)+card{0})

                             =

  所有有理数全体的基数等于.因为每个有理数是一对整数的商,所以所有有理数全体的基数不超过所有整数对全体的基数,所以所有有理数全体的基数不超过.但是整数可以看作有理数的特例,这基数又不小于.所以所有有理数全体的基数等于.

  所有无理数全体的基数等于.否则所有实数全体的基数不会等于.

  所有实代数数(整系数代数方程的根)全体的基数等于.这是因为只有可数无限多个不同的整系数代数方程,而每个方程只有有限个根.

  所有实超越数(不是代数数的实数)全体的基数等于.

  复数全体的基数等于.这是因为一个复数是一个实数对.

    [康托三分集]  把闭区间[01]里的所有实数表示成三进位无限小数*.各位数字都不是1的那些三进位无限小数全体记作T,那末T称为康托三分集.从几何上看,把T0=[01]等分成三段,去掉中间一段,剩下的部分[0][1]记作T1.又把[0][1]各等分为三段,去掉中间一段,剩下的部分记作T2.继续下去得到一个集族{ Tn|nω},这族集的通集就是.

    T里每个数用2除,就得二进位无限小数全体,因此cardT=.

 


 

 * 这段中的数集的数都是按通常意义下定义的,见第一章,§1,一.