§ 3 拓扑空间

一、        基本概念

    [拓扑与拓扑空间]  假定D是一个集,τ(就是τ的每个元素都是D的子集),且满足条件:

           (i) φτDτ

      (ii) 任何一族属于τ的集的和集属于τ

      (iii) 任何有限个属于τ的集的通集属于τ

那末称τD的一个拓扑,称<D,τ>这个有序对(见§1,二)为一个拓扑空间.

假定X=<D,τ>是一个拓扑空间,那末D的每个元素都称为X里的点,D的每个子集都称为X里的点集,特别,D称为X的承载点集.τ的每个元素(是D的特殊子集)都称为X里的开集,τ称为X的拓扑.

在不至于引起误解的情况下,也往往把一个拓扑空间跟它的承载点集混为一谈.

    [凝固拓扑与分散拓扑]  注意,任何一个集D的拓扑总是存在的.比如{φD}就是D的一个拓扑,称为D的凝固拓扑,<D{φD}>称为一个凝固空间,在这个凝固空间里,开集只有φD.还有也是D的一个拓扑,称为D的分散拓扑,<D, >称为分散空间,在这个分散空间里,任何点集都是开集.

    [诱导拓扑与拓扑子空间]  假定X是一个拓扑空间,AX里的一个点集.把X里的任何一个开集跟A的通集称为A的一个相对开集,那末A的所有相对开集全体τ'是A的一个拓扑,称为A的诱导拓扑,<A,τ'>称为X的一个拓扑子空间.

    注意,凡是说拓扑子空间,它的拓扑一定是指诱导拓扑.

    [拓扑的粗细]  假定τ1τ2都是集D的拓扑,τ1Ìτ2,那末说τ1τ2粗,或者说τ2τ1.

    一个集D的每个拓扑都是的一个子集,因此是的一个元素,应用划分公理,一个集D的所有拓扑的全体是一个集,称为D的拓扑族,而粗细关系是这个拓扑族里的一个小大关系,不过还不是次序,因为D的不同的拓扑不一定可以比粗细.因此,D的拓扑族按照这个粗细关系是一个分行集.不过,当D的元素不止一个时,D一定有最粗的拓扑,那就是凝固拓扑,也一定有最细的拓扑,那就是分散拓扑.

[拓扑亚基与拓扑的确定]  虽然一个集D的任何一族子集的全体只要满足上面定义的条

件(i),(ii),(iii)就可以取做拓扑,但是要验证这些条件是否满足往往不很方便.通常要利用拓扑亚基的概念来确定一个拓扑.

    假定s 是集D的一族子集(就是s ),把D的所有掩盖s 的拓扑τ(就是τÊs)的通集记作τ0,那末不难看到,τ0是一个拓扑,并且是掩盖s 的最粗的拓扑.τ0称为s 所繁殖的拓扑,而s称为τ0的一个亚基.

    任何一个拓扑τ都是它自己所繁殖的拓扑,因此都是自己的一个亚基.

    由这定义知道,集D的任何一族子集可以繁殖出一个唯一的拓扑来.

    例1 (一维实数空间R1)把实数全体记作R1.由所有区间(ab)(当a³b,(ab)表示空集)的全体所繁殖的拓扑τ1称为R1的普通拓扑.以后如果没有另外说明,就把R1当作具备这个普通拓扑的拓扑空间,称为一维实数空间.

    R1当作集看还有别的拓扑,除凝固拓扑、分散拓扑外,比如由所有的半闭区间(ab](就是{x| },当a³b时,(ab]表示空集)全体也繁殖出一个拓扑来.但是这些都不是普通拓扑,如果要采用这些拓扑,要另外声明.

    [拓扑基]  假定s 是一个拓扑空间X里的一族开集的全体.如果X里任何一个开集都是一族属于s 的开集的和集,那末称sX的拓扑的一个基.显然X的拓扑自己就是自己的一个基.

    由这定义知道,如果s 是拓扑空间X的拓扑的一个基,那末一定是X的拓扑的一个亚基.

    定理  一个集D的一族子集的全体s 是它所繁殖的拓扑的一个基的充分必要条件是:对任何As,任何Bs 和任何xAB,存在Cs,使xCAB.

    因此可以看到,所有实数区间(ab)的全体是R1的普通拓扑的一个基,因为属于任何两个区间的通集的任何一个实数x,一定属于这个通集的一个子区间,因此还知道R1里的任何一个开集都是区间的和集.

    [开邻域、邻域与基本邻域]  假定一个拓扑空间里的一点x属于一个开集,那末称这开集为x的一个开邻域.假定一个点集掩盖x的一个点邻域,那末称这点集为x的一个邻域.假设x的一个开邻域属于这空间的拓扑的基,那末称这开邻域为x的一个基本邻域.

    一个拓扑空间里的一个点集S是开集的充分必要条件:属于S的每一点都至少有一个基本邻域被S所掩盖.

    开集也可用基本邻域的概念来定义.这是通常利用拓扑基来确定拓扑的另一个办法.例如这样规定:假定S是一个实数集.如果对任何xS,存在一个区间(ab)使xabS,那末称S为一个开集.所有这种开集全体正好就是R1的普通拓扑.

    [拓扑乘积空间]  假定{Xh|hH}是一个拓扑空间族,Xh=< Dh τh>,那末τh 的任何一个元素,hH的任何一个元素}是的一个子集族,由这个子集族繁殖出的一个拓扑τ,称为这族τh的乘积拓扑.把<,τ>称为这族拓扑空间Xh 的拓扑乘积空间.

    注意,{|Ahτh的任何一个元素}这个集族所繁殖的拓扑一般比乘积拓扑细.只有对有限个拓扑空间的乘积,才跟乘积拓扑一致.

    在不至于引起误解的情况,这个拓扑乘积空间往往就记作它的承载点集,因为说到拓扑乘积空间,意思就是它的拓扑是乘积拓扑.

    [n维实数空间与n维区间]  把所有实数全体记作R1.由例1可知R1是一维实数空间.当n是一个正整数时,nR1的拓扑乘积空间,记作Rn,称为n维实数空间.

    如果把n个区间的直接积称为n维区间(如果其中某个(aibi=φ的话,这个直接积也当作φ理解),那末由拓扑乘积空间的定义知道,Rn的拓扑就是所有n维区间的全体繁殖出来的拓扑,而且所有n维区间的全体是这个拓扑的一个基.换句话说,Rn里的任何一个开集都是n维区间的和集.


 

* 实数的进位制见第一章,§1,一.