四、    极限与连续

    [变换的极限]  假定f是把一个拓扑空间X里的一个点集A变进另一个拓扑空间Y的变换.又假定x₀是A的一个聚点.如果Y里有一点y₀，对y₀的任何一个邻域V，x₀有一个邻域G，使

f（(G\{ x₀}）∩A）V

那末称y₀为f在x₀的极限，记作

    注意，1^o假定y₀是f在点x₀A'的极限，那末只有两种情形，一种情形是x₀有一个邻域G使f（(G\{ x₀}）∩A）={ y₀}成立，否则就是对x₀的任何一个邻域G，y₀都是f（(G\{ x₀}）∩A）的一个聚点.

    2^o一般，不一定存在，存在的话也不一定唯一.但是特别当f是把A变进一个T₂空间的变换时，要么不存在，要么存在并且唯一.

    [连续变换]  假定f是把一个拓扑空间里的点集A变进一个拓扑空间的变换.假定x₀是A的孤立点或者x₀是A的聚点而=f（x₀），那么称f在x₀连续.

    如果f（x）在每一点xA都连续，那末称f在A里连续，或称f为A的连续变换.

    定理  把拓扑空间里的一个点集A变进一个拓扑空间的变换f是A的连续变换的充分必要条件是：f（A）的任何一个相对开集的象源（就是这个相对开集里每一点的象源的全体）是A的相对开集（条件中的“开”可以改成“闭”）.

    [使一个变换连续的最粗的拓扑]  假定一个变换f把一个集A变进一个拓扑空间的承载点集B，那末把f（A）的所有相对开集的象源全体当作A的一个拓扑亚基，就得到A的一个拓扑τ.这个拓扑τ 就是使f在A里连续的最粗的拓扑.

    特别当f是在集A里定义的实函数（或者实泛函）*时，f可以看作把A变进R¹的变换，于是所有形如{x|xA并且a<f(x)<b}的子集（其中a和b是任意实数）全体就可以繁殖出使f连续的最粗的拓扑.

    [开拓定理——体策定理]  假定f是正常空间X的一个闭集B里的连续有界实函数，对任何xB，成立，那末存在一个函数g在X（X的承载点集）里连续，并且对所有的xB,，而对X里所有的点x，成立.

    它是下面实变函数连续函数性质的推广：

    假定A是一个拓扑空间里的点集，f₁，f₂，¼是A里一列连续函数，一致收敛于函数f（也就是对任何正数e ，存在正整数N，使| f_n（x）-f（x）|<e 对任何xA和任何n>N成立），那末f在A里连续.

    [拓扑变换与同胚]  假定X和Y都是拓扑空间，f是一个把X的承载点集一对一地变上Y的承载点集的变换，在变换f下，X里的每个开集的象是Y里的开集，Y里的每个开集的象源也是X里的开集，那末称f为一个把X变上Y的拓扑变换（同胚变换），称X和Y在f下同胚或者拓扑地等价.

    定理  把拓扑空间X的承载点集一对一地变上拓扑空间Y的承载点集的变换为拓扑变换的充分必要条件是：f可逆连续（就是f和f ^-1都是连续变换）.