五、    点网

    在实变数分析中，数列、函数列、函数值列等等是常见的基本工具.这些概念可以用拓扑空间里的点列这样一个统一的概念来概括.不过对一般拓扑空间的极限理论，点列的概念是过分狭隘的，应该推广为点网的概念，点网的作用就相当于实变数分析中点列所起的作用.

    [汇总集]  假定Q是一个集，Q里有一个大小关系<，并且满足条件：（i）对任何pQ和qQ，式子p<q, p=q, q<p有一个且只有一个成立；（ii）若p, q, r都属于Q，并且p<q和q<r都成立，则p<r成立；（iii）对任何pQ和qQ，存在rQ使p<r, q<r都成立.那末称Q为汇总集.

    由定义看到，汇总集就是满足条件（iii）的分行集.

    [点网]  一个汇总集Q变进一个拓扑空间X的变换f称为X里的点网，通常把一点qQ的象f（q）记作x_q，于是< x_q |qQ>={{f(q), q}|qQ}是一个点网.

    特别当Q是有限序数的全体ω或者正整数的全体时，点网< x_q |qQ>称为点列.

    [点网极限的两种定义]

1°  假定Q是一个汇总集，把Q看作分散空间.任意取一个不属于Q的事物（比如就是Q自己）记作∞，称为Q的无限大（终极）.把∞和Q里所有比某个元素p大的元素q的全体（就是{∞}∪{q|qQ并且q>p}）规定为Q∪{∞}里的一个开集.在上面规定下，在Q∪{∞}里繁殖一个拓扑.在这拓扑下，Q成了一个拓扑空间里的点集，∞是Q的唯一的聚点.

    拓扑空间X里的一个点网< x_q |qQ>是一个把Q变进X的变换，因此由上节变换的极限的定义，得到的概念，这个极限如果存在的话，就称为点网< x_q |qQ>的极限.在这个极限记号里∞不妨省去，写成，这是因为除∞外，没有别的聚点.

    如果一个点网的极限存在，则称这点网收敛于这个极限.

2°  假定< x_q |qQ>是拓扑空间里的一个点网，那末

的意思就是对a的任一邻域V，总存在一个pQ，使对所有的q>p, x_qV成立.

    这就跟通常点列极限的定义在形式上更加一致了.

    [子网与聚限]  假定Q₁是一个汇总集Q的没有上界的子集（也就是Q里没有元素能比Q₁的所有元素都大），那末称Q₁为Q的共终极的子汇总集.

    取这名字的理由是Q₁必然也是一个汇总集，并且在Q∪{∞}里，终极∞也是Q₁的唯一聚点.

    假定< x_q |qQ>是一个点网，又假定Q₁是Q的一个共终极的子汇总集，那末< x_q |q Q₁>称为< x_q |qQ>的子网.更一般，设Q₁是一个汇总集，变换q(q₁)把Q₁变进Q去，,那末称为< x_q |qQ>的一个子网.

    一个点网的子网的极限称为这个点网的一个聚限.

    定理1  在一个拓扑空间里，一点x₀为一个点集A的聚点的充分必要条件是：A\{ x₀ }里有一个点网收敛于x₀.

    推论  在一个第一可数空间里，一点x₀为点集A的聚点的充分必要条件是：A\{ x₀ }有一个点列收敛于x₀.

定理2假定A是一个拓扑空间里的一个子集，x₀是A的聚点，f是把A变进一个拓扑空间的变换，那末 的充分必要条件是：对A\{ x₀ }里所有收敛于x₀的点网

< x_p|pQ>，.

    [变换族的点点收敛拓扑]  把一个集A变进一个拓扑空间Y的变换的全体是叠集^AY.^AY实际上可以看作直接积Y_x，这里每个Y_x都是同一个Y，因为每个变换f可以理解为有序组<f(x)|xA>.

    由于Y是拓扑空间，可以把^AY 或者Y_x 看作拓扑乘积.^AY 的这个乘积拓扑称为点点收敛拓扑.

定理  假定A是一个集，Y是一个拓扑空间，那末跟^AY 的别的拓扑比较，点点收敛拓扑的特点是：^AY 里的任何一个点网< f_p|pQ>收敛的充分必要条件是：对每一个xA，Y里的点网< f_p(x)|pQ>都收敛.