§5 紧致点集与联结点集

一、    紧致点集

    [紧致点集及其性质]  假定S是一个拓扑空间里的一个点集,S的任何一个合盖开集族都一定有有限合盖子族,那末称S为紧致点集,或称S紧致.

    紧致点集具有性质:

  紧致点集在连续变换下的象是紧致的.

  一个拓扑空间里的点集S紧致的充分必要条件是:S的任何一个无限子集Q都至少有一个聚点x0S,并且对x0的任何邻域G

                        card(GQ)=card(Q)

(card的定义见§2).

  一个拓扑空间里的点集S紧致的充分必要条件是:S里任何一个点网都有子网收敛于一点x0S .

  紧致点集的相对闭集紧致.

  T2空间里的紧致点集为闭.

  正则空间里的紧致点集的包紧致.

  尺度空间里的点集S紧致的充分必要条件是:S全有界(即对任何正数rS总能被有限个半径等于r的开球所合盖)并且完备.特别n维欧氏空间En里的点集S紧致的充分必要条件是:S有界并且闭.

  一个分散点集S紧致的充分必要条件是:S有限.

  一个拓扑空间里的点集S紧致的充分必要条件是:S的任何一族有限相交(即族里任何有限个集的通集都不空)的相对闭集的通集不空.

   10o  康托定理 假定<Bn|nω>是紧致点集S的不空的相对闭集,每个BnÉ Bn+1,(n=0,1,×××)那末.

   11o  吉洪诺夫定理 一族紧致空间的拓扑乘积紧致.

    [变换族的紧致-开拓扑]  假定XY是两个拓扑空间.在叠集XY(所有把X变进Y的变换全体)里造一个拓扑如下:对Y里任何一个开集VX里任何一个紧致集K,所有把K变进V的变换全体WKV)规定为XY 里的一个开集,并且从所有这种开集WKV)繁殖一个拓扑.这拓扑称为XY 的紧致-开拓扑.

  假定X是一个拓扑空间,Y是一个尺度空间,那末对属于XY 的所有连续变换的全体C来说,跟XY 别的拓扑比起来,紧致-开拓扑的特点是:任何一个连续变换网<fp|pQ>收敛的充分必要条件是:对X里任何一个紧致集,<fp(x)|pQ>在K里一致收敛.

因此,所有连续变换的全体CXY 的紧致-开拓扑下是闭集.

1°中“Y是尺度空间”可以改做“Y是一致空间”.

  阿斯可里定理 假定X是一个正则局部紧致空间*Y是一个以j为尺度的尺度空间,C表示所有把X变进Y的连续变换的全体.那末C的一个子族FXY 的紧致-开拓扑下紧致的充分必要条件是:

    (i)  FC的相对闭集;

    (ii)X里每一点xx在所有属于F的变换下的象的全体的包是Y里的紧致集;

    (iii) F同等连续(即假定x0X里的一点,如果对任何正数e,总存在一个x0的邻域V,使对任何xV和任何fF,都有jfx),fx0))<e.

    定理中“Y是一个尺度空间”可以改为“Y是一个T2一致空间”.

    [紧致化]  假定X是一个拓扑空间,X*是一个紧致空间.如果存在一个同胚变换fX变进X*,并且fX)在X*里处处稠密,那末称X*(或称<f ,X*>)是X的一个紧致化.这时候,往往把XfX)混同起来,于是把X看成X*的子集.

    单点紧致化  假定X是一个拓扑空间,X的承载点集记作D.随便把一个不属于D的事物记作∞.用D{∞}的下列两种子集的全体当拓扑亚基:(iX里的开集,(iiX里任何一个紧致闭集在D{∞}里的余集.由这个亚基得到D{∞}的一个拓扑τ*.拓扑空间X*=< D{∞},τ*>是一个紧致空间.在恒等变换下,X同胚地变进X*并且XX*里处处稠密,因此X*X的一个紧致化,称为X的单点紧致化,∞称为X*里的无限远点.

    一维复数空间C1的单点紧致化称为复数球面.

    一维实数空间R1的单点紧致化跟圆周同胚.

    广一维实数空间  随便把两个不是实数的东西(如{{{φ}}}和{{φ}})记作∞和

-∞,在R1{∞}∪{-∞}里把所有下列点集的全体当拓扑亚基:(iR1里的开集,(ii)(a,)∪{∞},(iii)(-∞,b)∪{-∞}.用这个拓扑亚基所繁殖的拓扑当拓扑,R1{∞}∪{-∞}是一个紧致空间,称为广一维实数空间,是在恒等变换f({ x=f(x)|x R1 })下的R1的一个紧致化.

    在广一维实数空间里,∞是任何一个无上界的实数集合的聚点.假如f是把一个无上界的实数集S变进一拓扑空间的变换,那末由于∞是S的一个聚点,的意义就包括在§3,四的极限定义中了.



* 一个拓扑空间里的每点都有一个紧致的邻域,就是把它称为局部紧致空间.