§5 紧致点集与联结点集

一、    紧致点集

    [紧致点集及其性质]  假定S是一个拓扑空间里的一个点集，S的任何一个合盖开集族都一定有有限合盖子族，那末称S为紧致点集，或称S紧致.

    紧致点集具有性质：

1°  紧致点集在连续变换下的象是紧致的.

2°  一个拓扑空间里的点集S紧致的充分必要条件是：S的任何一个无限子集Q都至少有一个聚点x₀S，并且对x₀的任何邻域G，

                        card(G∩Q)=card(Q)

(card的定义见§2).

3°  一个拓扑空间里的点集S紧致的充分必要条件是：S里任何一个点网都有子网收敛于一点x₀S .

4°  紧致点集的相对闭集紧致.

5°  T₂空间里的紧致点集为闭.

6°  正则空间里的紧致点集的包紧致.

7°  尺度空间里的点集S紧致的充分必要条件是：S全有界（即对任何正数r，S总能被有限个半径等于r的开球所合盖）并且完备.特别n维欧氏空间Eⁿ里的点集S紧致的充分必要条件是：S有界并且闭.

8°  一个分散点集S紧致的充分必要条件是：S有限.

9°  一个拓扑空间里的点集S紧致的充分必要条件是：S的任何一族有限相交（即族里任何有限个集的通集都不空）的相对闭集的通集不空.

   10^o  康托定理 假定<B_n|nω>是紧致点集S的不空的相对闭集，每个B_nÉ B_n+1,(n=0，1，×××）那末.

   11^o  吉洪诺夫定理 一族紧致空间的拓扑乘积紧致.

    [变换族的紧致-开拓扑]  假定X和Y是两个拓扑空间.在叠集^XY（所有把X变进Y的变换全体）里造一个拓扑如下：对Y里任何一个开集V，X里任何一个紧致集K，所有把K变进V的变换全体W（K，V）规定为^XY 里的一个开集，并且从所有这种开集W（K，V）繁殖一个拓扑.这拓扑称为^XY 的紧致-开拓扑.

1°  假定X是一个拓扑空间，Y是一个尺度空间，那末对属于^XY 的所有连续变换的全体C来说，跟^XY 别的拓扑比起来，紧致-开拓扑的特点是：任何一个连续变换网<f_p|pQ>收敛的充分必要条件是：对X里任何一个紧致集，<f_p(x)|pQ>在K里一致收敛.

因此，所有连续变换的全体C在^XY 的紧致-开拓扑下是闭集.

1°中“Y是尺度空间”可以改做“Y是一致空间”.

2°  阿斯可里定理 假定X是一个正则局部紧致空间*，Y是一个以j为尺度的尺度空间，C表示所有把X变进Y的连续变换的全体.那末C的一个子族F在^XY 的紧致-开拓扑下紧致的充分必要条件是：

    (i)  F是C的相对闭集；

    (ii) 对X里每一点x，x在所有属于F的变换下的象的全体的包是Y里的紧致集；

    (iii) F同等连续（即假定x₀是X里的一点，如果对任何正数e，总存在一个x₀的邻域V，使对任何xV和任何fF，都有j（f（x），f（x₀））<e）.

    定理中“Y是一个尺度空间”可以改为“Y是一个T₂一致空间”.

    [紧致化]  假定X是一个拓扑空间，X*是一个紧致空间.如果存在一个同胚变换f把X变进X*，并且f（X）在X*里处处稠密，那末称X*（或称<f ,X*>）是X的一个紧致化.这时候，往往把X和f（X）混同起来，于是把X看成X*的子集.

1°    单点紧致化  假定X是一个拓扑空间，X的承载点集记作D.随便把一个不属于D的事物记作∞.用D∪{∞}的下列两种子集的全体当拓扑亚基：（i）X里的开集，（ii）X里任何一个紧致闭集在D∪{∞}里的余集.由这个亚基得到D∪{∞}的一个拓扑τ*.拓扑空间X*=< D∪{∞},τ*>是一个紧致空间.在恒等变换下，X同胚地变进X*并且X在X*里处处稠密，因此X*是X的一个紧致化，称为X的单点紧致化，∞称为X*里的无限远点.

    一维复数空间C¹的单点紧致化称为复数球面.

    一维实数空间R¹的单点紧致化跟圆周同胚.

2°    广一维实数空间  随便把两个不是实数的东西（如{{{φ}}}和{{φ}}）记作∞和

-∞，在R¹∪{∞}∪{-∞}里把所有下列点集的全体当拓扑亚基：（i）R¹里的开集，（ii）（a,∞）∪{∞}，（iii）（-∞,b）∪{-∞}.用这个拓扑亚基所繁殖的拓扑当拓扑，R¹∪{∞}∪{-∞}是一个紧致空间，称为广一维实数空间，是在恒等变换f({ x=f(x)|x R¹ })下的R¹的一个紧致化.

    在广一维实数空间里，∞是任何一个无上界的实数集合的聚点.假如f是把一个无上界的实数集S变进一拓扑空间的变换，那末由于∞是S的一个聚点，的意义就包括在§3，四的极限定义中了.