§4 泰勒级数·罗朗级数·留数定理
一、泰勒级数与罗朗级数
1.泰勒级数
[泰勒级数展开定理] 设函数在圆
(
)内解析,那末
在圆内可以展成泰勒级数
式中
其中是以
为圆心,以
(
)为半径的圆周.这个展开式是唯一的.
复变函数的泰勒级数展开式表与实变函数的幂级数展开式表(第五章§3,九)相类似,只要把实变量换成复变量
就可以了.
[复平面内的幂级数的收敛性] 如果幂级数
在圆内绝对收敛,而在圆外发散,那末称
为级数的收敛圆,
为收敛半径,并且
或者
[阿贝耳定理] 对于每个幂级数
存在一个收敛半径(
)具有下列性质:
1o 对于内每点
,级数绝对收敛.在每一闭圆
(
)上,级数一致收敛.
2o ,级数发散.
3o 在内,级数的和是一解析函数.
由性质3o和泰勒级数展开定理可知,复变函数在一点解析和在点
的邻域内可以展开为幂级数是等价的.
[运算规则] 在公共的收敛圆内,有下列运算规则:
()
(是任意复数)
2.罗朗级数展开定理
如果函数在环形区域
(
,
)内解析,那末
在环形区域内可展开为罗朗级数
式中
,
是任一圆周
(
),函数的罗朗级数在环形区域
内的任意一个闭区域上一致收敛.
级数称为罗朗展开的正则部分,
级数称为罗朗展开的主要部分.
如果级数在环形区域
内收敛,那末级数的和
在这个区域内解析,并且这个级数就是
的罗朗级数.因此圆环上解析函数的罗朗展开式是唯一的.
3.解析函数的局部性质
[解析函数的零点] 设在
解析,并且
,则称
为
的零点.若
而
,则称
为
的
阶零点.
解析函数的零点是孤立的,也就是说,如果
是
的零点,并且不是
,那末一定有一正数
,使得
在圆
内除
外无其他零点.
[解析函数的唯一性定理] 设函数和
在区域
内解析,
的内点列
(
)有一极限点
属于
,如果
,
那末在区域内
这个性质表明区域内的解析函数由
内任一收敛于
的内点的点列上的数值完全决定.
[孤立奇点(可去奇点·极点·本性奇点)] 如果函数在
的一个邻域
内除
外解析,称
是函数
的一个孤立奇点.孤立奇点分三类:
1o
当(
为有限数),
称为
的可去奇点.
是
的可去奇点的充分必要条件是:
在
的邻域里*的罗朗级数不含主要部分,或者是
在
的邻域里有界.
2o
当,
称为
的极点.
是
的极点的充分必要条件是:
在
的邻域里的罗朗级数的主要部分只含有限多项,即
如果主要部分中的负次幂最高的是
,那末称
为
的
阶极点.
3o
当不存在,
称为
的本性奇点.
是函数
的本性奇点的充分必要条件是:
在
的邻域里的罗朗级数中主要部分有无限多项.
如果是函数f(z)的本性奇点,那末对任意复数A,都存在一点列
,
,使得
[泰勒定理] 如果函数在区域
内解析,那末对于
内一点
,有
其中余项的形式是
C是以为圆心的圆周(
的内部在
内).
泰勒定理是讲解析函数的有限展开式,而泰勒级数展开定理(§4,一,1)是无穷级数形式.对于研究解析函数的局部性质来说,有用的还是这里的有限展开式.
[解析函数在无穷远点的性质]
1o 无穷远点的邻域以原点为中心,为半径的圆的外部所有的点是无穷远点的一个邻域.
2o 无穷远点是的孤立奇点 设
.若
是
的可去奇点,则称
为
的可去奇点;若
是
的
阶极点,则称
为
的
阶极点;若
是
的本性奇点,则称
为
的本性奇点.
3o 函数在无穷远点的罗朗级数 设
在
的邻域内的罗朗级数是
令,得到
在
的邻域内的罗朗级数
,
)
所以,当是
的可去奇点时,
的罗朗级数中不含
的正次幂;当
是
的
阶极点时,
的罗朗级数中,只有有限项
的正次幂,并且
(
)是最后一个不等于零的系数;当
是
的本性奇点时,
的罗朗级数中,有无限多项
的正次幂.
4o 函数在无穷远点是孤立奇点的性质 当
是
的可去奇点时,函数的模在无穷远点的某一邻域里有界;当
是
的
阶极点时,函数的模在无穷远点的任一邻域里无界;当
是
的本性奇点时,对任意复数
,都存在点列
,
,使得
.
5o 无穷远点是的零点
的罗朗级数中不含
的正次幂,而且
。若
,而
(
),则称无穷远点是
的
阶零点.
4.单值解析函数的分类
在全平面(不包括)无奇点的函数称为整函数(全纯函数).
在全平面(不包括)除了极点外无其它奇点的函数称为分式函数(半纯函数或亚纯函数)
5.半纯函数的部分分式表达式
二、
留数定理及其应用
[留数的定义] 设点是函数
的孤立奇点,
是圆周
,称积分
的数值为函数在孤立奇点
处的留数(残数),记作
,这里
为适当小的正数(使圆内无
的其它奇点),留数值与
的取值无关.
函数在一个孤立奇点
处的留数等于
在点
的邻域内的罗朗展开式中负一次幂的系数,即
[孤立奇点的留数计算法则]
1o 函数在可去奇点的留数等于零.
2o 设是
的一阶极点,则
3o 设是
的
阶极点,则
4o 设分式函数,
和
在点
解析,
是
的一阶零点,而
,则
(
为
在
的导数)
5o 设是
的孤立奇点,
表示半径足够大的圆周
(使圆周外部无
的其他奇点),称积分
的数值为在
的留数(其中
是取顺时针方向),记作
,所以
[留数定理] 如果函数在简单闭曲线
的内部
内除了有限个奇点
外解析,并且在
上除了
外连续,那末
[辐角原理] 如果函数在简单闭曲线
的内部
内除了有限个阶数分别是
的极点
外解析,在
上除了点
外连续,在
上没有零点与极点,而在
内有阶数分别是
的零点
,那末
其中表示点
沿曲线
移动一圈后
的辐角改变量.设
是曲线
在映射
下的象,则
称为曲线
的回转次数.
[儒歇定理] 如果函数与
在简单闭曲线
及
的内部
解析,且在
上
,
那末在的内部,
和
有相同的零点个数,即
[利用留数定理计算定积分]
1o 计算积分
如果除在实轴的上侧有有限多个孤立奇点
外,在包括实轴在内的上半平面上处处是解析的,同时假设
是
的至少二阶的零点,或者
(
,
为常数)
那末可按照下列步骤计算积分(图10.12):
(1)
作辅助函数,在实轴上
(2)
作附加积分路线,使它和
合起来变成一条包含
的所有奇点
的闭曲线
,则
(3)
求出在上半平面的各奇点的留数总和,应用留数定理,有
(4)
令,根据假设,
,那末
例1
计算
解
(1) 作辅助函数.
(2) 作附加积分线路:以原点为中心,半径
充分大的上半圆周(图10.13).
|
(3) 在上半平面只有一个极点
,其留数为
(4)
所以
2o
计算积分 (
)
设是有理函数,并且分母的次数
分子的次数
(
).
计算的基本步骤和上面一样,它的辅助函数是,附加积分路线和积分闭曲线
分下面两种情况:
(a) 如果在实轴上有有限多个一阶极点,积分闭曲线
(在极点处,以各极点为圆心,
为半径在下半平面作半圆,为正向)见图10.14(a)*,那末
|
这里的广义积分是柯西主值,其定义见第六章§1,五.
(b) 如果在实轴上没有奇
点,积分闭曲线见图10.14(b).
例2 计算积分(
)
解
作辅助函数,它只有实轴上的两个奇点
,
,所以由(a)
例3 计算积分
解 (1)作辅助函数.
(2)作附加积分线路和
与
,
合起来变成一条包含奇点
的闭曲线
(图10.15),则
|
(3)在曲线内函数
只有一个二阶极点
,根据孤立奇点的留数计算法则3o,得到
处
的留数,则
(4)可以证明当,
时,积分
,
,于是得
上式两边实部相等,所以