§2 广义傅立叶级数与傅立叶-贝塞耳级数
一、 广义傅立叶级数
如果连续函数系
(1)
在某区间上正交,又如果函数在上绝对可积,那末以
为系数的级数
称为函数关于正交函数系( 1 )的广义傅立叶级数,记作
f ( x )~
称为关于正交函数系( 1 )的傅立叶系数.
不妨设( 1 )是标准正交函数系,即满足
那末
这时,关于,有贝塞耳不等式
(是平方可积函数
如果对于任意的平方可积函数,封闭性方程
成立,就称这时的正交函数系是封闭的.
二、 傅立叶-贝塞耳级数
[傅立叶-贝塞耳级数]
1o 设是贝塞耳函数(见第十二章)的正根,那末函数系
在[0, 1]上按权x正交,即
2o 对于一切在[0, 1]上绝对可积的函数,可作它的傅立叶-贝塞耳级数
f ( x )~
式中
称为函数的傅立叶-贝塞耳系数.
3o 如果在[0, 1]上除有有限个第一类间断点外处处连续并且逐段可微,那末当 时,它的傅立叶–贝塞耳级数收敛,在连续点处,级数和等于,在间断点处,级数和等于;
如果在[0,1]上绝对可积,在区间上连续并且有绝对可积的导数,那末它的傅立叶—贝塞耳级数在每一区间上一致收敛;
如果在[0,1]上绝对可积,在区间上连续并且有绝对可积的导数,同时,那末它的傅立叶-贝塞耳级数在每一区间上一致收敛.
[第二类傅立叶-贝塞耳级数]
1o 设是
(H是常数)
的正根,那末,当时,函数系
在[0, 1]上按权x正交.
如果在[0,1]上绝对可积,那末它关于上面正交系的广义傅立叶级数称为的第二类傅立叶-贝塞耳级数,即
~
式中
2o 如果函数在[0, 1]上逐段可微(至多有有限个第一类间断点),那末它的第二类傅立叶-贝塞耳级数在0<x<1上收敛,并在连续点处等于,在间断点处等于;
如果函数在[0,1]上连续,两次可微(除有限个点外),且=0, ,有界,那末它的第二类傅立叶-贝塞耳级数当时,在每个区间[,1] (0<<1)上绝对且一致收敛;又当时,在整个区间[0,1]上绝对且一致收敛.
[区间[0,l]上的傅立叶-贝塞耳级数]
设在[0,l]上绝对可积,那末它的傅立叶-贝塞耳级数是
f ( x )~
式中
对于第二类傅立叶-贝塞耳级数,
关于级数的收敛性,可通过作变换, ,只讨论在[0,1]上相应的傅立叶-贝塞耳级数的收敛性就可以了.