§4 傅立叶变换

一、 傅立叶积分

[傅立叶积分] 在任一有限区间[-l, l]上绝对可积的函数，可以求出它的傅立叶级数(本章§1，二)

(1)

设函数在无穷区间(- )上绝对可积，在(1)式中，令l，得出f ( x )的傅立叶积分

[傅立叶积分的几种形式]

设的傅立叶积分满足收敛的条件，那末

1^o =

2^o = (外层积分理解为主值意义下的积分)

3^o 是偶函数：

=

4^o 是奇函数：

=

[傅立叶积分的收敛判别法] 设函数在上绝对可积，记积分(1)的假想值为S₀.假设在点x₀连续，或者x₀是它的第一类间断点，并且在连续点x₀处S₀=，而在第一类间断点x₀处，

S₀=

1^o 狄尼判别法 令，如果对于某,积分

收敛，那末的傅立叶积分在点x₀处收敛，并且等于S₀.

2^o 狄利克莱-若当判别法 如果在以x₀为中点的某一区间[x₀-h,x₀+h]上有有界变差，那末它的傅立叶积分在点x₀处收敛，并且等于S₀.

3^o 如果函数在上有有界变差，同时

那末的傅立叶积分在任一点x₀处收敛，并且等于S₀.

二、 傅立叶变换

[傅立叶变换及其反演公式] 的傅立叶变换为

傅立叶变换的反演公式为

[傅立叶变换的存在条件] 的傅立叶变换及反演公式在满足下面两个条件下有意义(只是在)的间断点x₀处，反演公式的左端应等于):

1^o 存在；

2^o 在上满足狄利克莱条件：只有有限个极值点，只有有限个第一类间断点.

[傅立叶变换的性质] 设,g ( x )的傅立叶变换分别是F(),G(),那末

1^o 线性 a+b g ( x )的傅立叶变换是a F()+b G() (a,b是常数)

2^o 褶积(或卷积) f ( x )*g ( x )= 的傅立叶变换是

F()G()

3^o 帕塞法耳等式

4^o 翻转 f ( -x )的傅立叶变换是F( - ).

5 ^o 共轭 的傅立叶变换是.

6^o 时移(延迟) f ( x-x₀ )的傅立叶变换是.

7^o 频移(调频) 是的傅立叶变换 (是常数).

[傅立叶变换表]

，

	(g为欧拉常数)

三、 傅立叶余弦变换

[傅立叶余弦变换及其反演公式] f (x)的傅立叶余弦变换为

傅立叶余弦变换的反演公式为

[傅立叶余弦变换的存在条件] 与傅立叶积分收敛条件相同.

[傅立叶余弦变换的性质]

1^o 如果是f (x)的傅立叶余弦变换，那末是的傅立叶余弦变换.

2^o 如果f (x)是偶函数，那末.

3^o (a > 0)的傅立叶余弦变换是.

[傅立叶余弦变换表]

,

四、 傅立叶正弦变换

[傅立叶正弦变换及其反演公式] f (x)的傅立叶正弦变换为

傅立叶正弦变换的反演公式为

[傅立叶正弦变换的存在条件] 与傅立叶积分收敛条件相同.

[傅立叶正弦变换的性质]

1^o 如果是f (x)的傅立叶正弦变换，那末是的傅立叶正弦变换.

2^o 如果f (x)是奇函数，那末.

3^o (a > 0)的傅立叶正弦变换是.

[傅立叶正弦变换表]

,

	(为欧拉常数)

五、 有限傅立叶余弦变换

[有限傅立叶余弦变换及其反演公式] 设f (x)在区间内满足狄利克莱条件(见本节，二)，那末f (x)的有限傅立叶余弦变换为

有限傅立叶余弦变换的反演公式为：

在区间内f (x)的每一连续点处

在间断点，等式左端改为.

[有限傅立叶余弦变换表]

，

1
	,
( m是整数)

六、有限傅立叶正弦变换

[有限傅立叶正弦变换及其反演公式] 设f (x)在区间内满足狄利克莱条件(见本节，二)，那末f (x)的有限傅立叶正弦变换为

有限傅立叶正弦变换的反演公式为：

在区间上f (x)的每一连续点处

在间断点，等式左端改为.

[有限傅立叶正弦变换表]

，

1
	,
( m是整数)
( m是整数)

七、二重傅立叶变换及其反演公式

f (x, y)的二重傅立叶变换为

二重傅立叶变换的反演公式为