§4  傅立叶变换

 

一、  傅立叶积分

 

    [傅立叶积分]  在任一有限区间[-l, l]上绝对可积的函数,可以求出它的傅立叶级数(本章§1,二)

                                       (1)

    设函数在无穷区间(- )上绝对可积,在(1)式中,令l得出f ( x )的傅立叶积分

    [傅立叶积分的几种形式]

    的傅立叶积分满足收敛的条件,那末

    1o  =

    2o  =  (外层积分理解为主值意义下的积分)

    3o  是偶函数:

=

    4o  是奇函数:

=

    [傅立叶积分的收敛判别法]  设函数上绝对可积,记积分(1)的假想值为S0.假设在点x0连续,或者x0是它的第一类间断点,并且在连续点x0S0=,而在第一类间断点x0处,

S0=

    1o  狄尼判别法 ,如果对于某,积分

收敛,那末的傅立叶积分在点x0处收敛,并且等于S0.

    2o  狄利克莱-若当判别法  如果在以x0为中点的某一区间[x0-h,x0+h]上有有界变差,那末它的傅立叶积分在点x0处收敛,并且等于S0.

    3o  如果函数上有有界变差,同时

那末的傅立叶积分在任一点x0处收敛,并且等于S0.

 

、 傅立叶变换

 

    [傅立叶变换及其反演公式]  的傅立叶变换为

    傅立叶变换的反演公式为

    [傅立叶变换的存在条件]  的傅立叶变换及反演公式在满足下面两个条件下有意义(只是在)的间断点x0处,反演公式的左端应等于):

    1o  存在;

    2o  上满足狄利克莱条件:只有有限个极值点,只有有限个第一类间断点.

    [傅立叶变换的性质]  ,g ( x )的傅立叶变换分别是F(),G(),那末

    1o  线性           a+b g ( x )的傅立叶变换是a F()+b G()  (a,b是常数)

    2o  褶积(或卷积)    f ( x )*g ( x )= 的傅立叶变换是

F()G()

    3o  帕塞法耳等式  

    4o  翻转           f ( -x )的傅立叶变换是F( - ).

    5 o  共轭            的傅立叶变换是.

    6o  时移(延迟)      f ( x-x0 )的傅立叶变换是.

7o  频移(调频)      的傅立叶变换 (是常数).

 

    [傅立叶变换表]

          

 

            

                             

           

                          

       

               

 

         

        

        

        

 

             

 

          

         

     

          

     

      

     

         

         

        

   

         

         

         

         

 

 

 

          

          

      

      

      

      

   (g为欧拉常数)

      

        

          

 

三、 傅立叶余弦变换

 

    [傅立叶余弦变换及其反演公式]  f (x)的傅立叶余弦变换为

    傅立叶余弦变换的反演公式为

    [傅立叶余弦变换的存在条件]  与傅立叶积分收敛条件相同.

    [傅立叶余弦变换的性质]

    1o  如果f (x)的傅立叶余弦变换,那末的傅立叶余弦变换.

    2o  如果f (x)是偶函数,那末.

    3o   (a > 0)的傅立叶余弦变换是.

    [傅立叶余弦变换表]

, 

   

      

     

    

    

 

四、 傅立叶正弦变换

 

    [傅立叶正弦变换及其反演公式]  f (x)的傅立叶正弦变换为

    傅立叶正弦变换的反演公式为

    [傅立叶正弦变换的存在条件]  与傅立叶积分收敛条件相同.

    [傅立叶正弦变换的性质]

    1o  如果f (x)的傅立叶正弦变换,那末的傅立叶正弦变换.

    2o  如果f (x)是奇函数,那末.

    3o   (a > 0)的傅立叶正弦变换是.

    [傅立叶正弦变换表]

,  

           

         

 

          

                      

                      

          

     (为欧拉常数)

 

五、 有限傅立叶余弦变换

 

    [有限傅立叶余弦变换及其反演公式]  f (x)在区间内满足狄利克莱条件(见本节,二),那末f (x)的有限傅立叶余弦变换为

    有限傅立叶余弦变换的反演公式为:

    在区间f (x)的每一连续点处

在间断点,等式左端改为.

    [有限傅立叶余弦变换表]

  

1

,     

     ( m是整数)

 

六、有限傅立叶正弦变换

 

    [有限傅立叶正弦变换及其反演公式]  f (x)在区间内满足狄利克莱条件(见本节,二),那末f (x)的有限傅立叶正弦变换为

    有限傅立叶正弦变换的反演公式为:

    在区间f (x)的每一连续点处

在间断点,等式左端改为.

    [有限傅立叶正弦变换表]

  

1

,     

     ( m是整数)

     ( m是整数)

 

七、二重傅立叶变换及其反演公式

 

    f (x, y)的二重傅立叶变换为

    二重傅立叶变换的反演公式为