第十二章 特殊函数

特殊函数一般是指某类微分方程的解又不能用初等函数的有限形式表示的函数.但是这类函数在应用中是常见的,比如勒让德函数,贝塞耳函数及许多正交多项式等; 另外一些是由特定形式的积分所定义的函数,如-函数,B-函数.还有从函数的周期性的角度来考虑的所谓椭圆函数,这类函数与微分方程无关.本章除了介绍这些函数的概念外,还给出关于函数的一些积分、级数和无穷乘积等表达式、渐近形式、函数之间的关系以及它们的常用性质.

本章引用如下符号

式中为正整数，为任意数.

§1 由积分定义的特殊函数

一、 伽马函数（-函数）

[-函数的定义与其他表达式]

右边称为第二类欧拉积分.

积分路线从负实轴上无穷远处出发，正向绕原点一周，再回到出发点（图12.1）

是的半纯函数，在具有单极点，相应的留数为

式中称为欧拉常数。

[函数有关公式]

为正整数

特别

（余元公式）

特别

（乘法公式）

（倍元公式）

[-函数的渐近表达式]

斯特林公式

当为正实数时，

(i)

式中

(ii)

式中为伯努利数（§7）.

[可化为-函数的积分]

二、 贝塔函数(B-函数)

[B-函数的定义与其他表达式]

右边称为第一类欧拉积分

[B-函数的有关公式]

为正整数

[可化为B-函数的积分]

三、 普西函数(函数)

[函数的定义与其他表达式]

(高斯积分公式)

(狄利克莱公式)

式中为欧拉常数.

[函数有关公式]

[函数的特殊值]

(为欧拉常数)

[函数的渐近表达式]

式中为伯奴利数(§7).

四、 菲涅耳函数

[菲涅耳函数的定义与其他表达式]

它们都是的整函数.

式中

为概率积分

[菲涅耳函数的渐近表达式]

式中

特别

五、 概率积分(误差函数)

[概率积分的定义与级数表达式]

概率积分(或误差函数)

余概率积分(或余误差函数)

正态概率积分

称为库默尔函数)

[概率积分的渐近表达式]

如果把级数前 项之和作为的近似值,则误差

当为实数时,其误差不超过级数中所略去的第一项的绝对值.

当时,.

六、 正弦积分与余弦积分

[正弦积分的定义与级数表达式]

它们都是的整函数.

[余弦积分的定义与级数表达式]

它在除去半轴的平面内单值解析,式中为欧拉常数.

定义

[函数之间的关系] 当为实数时,有

[渐近表达式]

式中

特别有

七、 指数积分

[指数积分的定义与其他表达式]

它在除去半轴的平面内单值解析,式中为欧拉常数.

[指数积分的渐近表达式]

式中

特别

八、 对数积分

[对数积分的定义与其他表达式]

它在除去与的平面内单值解析.

式中为欧拉常数.

[对数积分的渐近表达式]

式中

九、 不完全伽马函数

[不完全伽马函数的定义与其他表达式]

[不完全伽马函数有关公式]

不为整数,且

十、 椭圆积分

[椭圆积分] 形为

是的有理函数,是的三次或四次多项式)的积分,称为椭圆积分,它可化为一些能用初等函数表示的积分.

[勒让德椭圆积分]

这三个积分分别称为勒让德第一类、第二类、第三类椭圆积分.数称为这些积分的模数,数称为补模数,数称为第三类积分的参数.

[外尔斯特拉斯椭圆积分]

这三个积分分别称为外尔斯特拉斯第一类、第二类、第三类椭圆积分.

[完全椭圆积分]

这三个积分分别称为第一类、第二类、第三类完全椭圆积分.又定义

[椭圆积分的级数表达式]

+

式中 为超几何级数.

[椭圆积分有关公式]

为整数)

为整数)

(勒让德关系式)

[椭圆积分替换公式表]

[完全椭圆积分替换公式表]

[可化为椭圆积分的积分]

(设)

(设)

(设)

(设)

(设）

（设）

(设)

（设）

（设）

（设）

（设）

（设）

（设）

（设）